{"id":772,"date":"2011-12-27T21:35:21","date_gmt":"2011-12-27T20:35:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/?p=772"},"modified":"2012-03-26T17:05:26","modified_gmt":"2012-03-26T16:05:26","slug":"jean-piaget-et-la-psychologie-du-developpement-cognitive-vii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/2011\/12\/27\/jean-piaget-et-la-psychologie-du-developpement-cognitive-vii\/","title":{"rendered":"J. Piaget et la psychologie du d\u00e9veloppement cognitif (VII)<\/small>"},"content":{"rendered":"

<\/a>La gen\u00e8se des op\u00e9rations logiques concr\u00e8tes
\nI. Contexte intellectuel et premiers travaux
\nII. Recherches sur la classification logique
\nIII. Recherches sur la s\u00e9riation logique<\/small><\/small><\/small><\/h2>\n

[version PDF du cours n. 7<\/a>]<\/p>\n

[Vers: Cours n. 12<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 11<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 10<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 9<\/a> \u2014 Cours n. 8<\/a> \u2014 Cours n. 6<\/a> \u2014 Cours n. 5<\/a> \u2014 Cours n. 4<\/a> \u2014 Cours n. 3<\/a> \u2014 Cours n. 2<\/a> \u2014 Cours n. 1<\/a>]<\/p>\n

Remarques pr\u00e9alables<\/h4>\n

Aujourd\u2019hui et lors des deux prochains cours, nous allons traiter un chapitre majeur de l\u2019\u0153uvre de Piaget, \u00e0 savoir ses recherches de psychologie g\u00e9n\u00e9tique portant sur le d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e logique et arithm\u00e9tique chez l\u2019enfant, entre 4 et 9-10 ans. Nous prendrons ainsi une connaissance relativement approfondie de cette p\u00e9riode de d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence li\u00e9e \u00e0 ce qu\u2019il est convenu d\u2019appeler la pens\u00e9e ou l\u2019intelligence op\u00e9ratoire concr\u00e8te, dans la mesure ou d\u00e8s 6-7 ans et jusqu\u2019\u00e0 9-10 l\u2019enfant construit des syst\u00e8mes d\u2019op\u00e9rations qui expliquent le type de raisonnement mis en \u0153uvre lorsqu\u2019il est confront\u00e9 \u00e0 des probl\u00e8mes de logique et d\u2019arithm\u00e9tique (comme nous le verrons aujourd\u2019hui ou dans les prochaines cours), ou encore \u00e0 des probl\u00e8mes de coordination de points de vue abord\u00e9s lors de notre dernier cours et \u00e0 bien d\u2019autres types de probl\u00e8mes, tels que ceux de conservation physique (exemple: la transformation d\u2019une boule de plasticine en saucisse ou en plusieurs morceaux modifie-t-elle la quantit\u00e9 de mati\u00e8re, de poids ou de volume\u00a0?). Apr\u00e8s cet examen des \u00e9tapes de construction de l\u2019intelligence op\u00e9ratoire concr\u00e8te, il restera \u00e0 aborder une ultime \u00e9tape de d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence, celle qui concerne l\u2019intelligence de l\u2019adolescent, qui prend une nouvelle forme, en raison, entre autres, de la capacit\u00e9 qu\u2019a ce dernier non plus seulement de concevoir et d\u2019organiser l\u2019univers des repr\u00e9sentations concr\u00e8tes (y compris imaginaires) auquel tout un chacun est confront\u00e9 dans la vie de tous les jours, mais \u00e9galement des univers bas\u00e9s sur de simples hypoth\u00e8ses, ou encore des ensembles de possibles dont il s\u2019agit de tirer les cons\u00e9quences ou d\u2019\u00e9prouver la coh\u00e9rence logiques. Ainsi nous aurons parcouru les principales \u00e9tapes du d\u00e9veloppement cognitif mis en lumi\u00e8re par Piaget dans ses recherches de psychologie g\u00e9n\u00e9tique sur le d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e chez l\u2019enfant et l\u2019adolescent. Mais commen\u00e7ons par un rappel.<\/p>\n

<\/p>\n

Lors des pr\u00e9c\u00e9dents cours, nous avons vu comment, lors des 18 mois qui suivent la naissance et \u00e0 travers des m\u00e9canismes tels que ceux de la diff\u00e9renciation ou de la coordination des sch\u00e8mes sensori-moteurs, est progressivement construit et structur\u00e9 l\u2019univers des objets proches \u2014et des personnes\u2014 sur lesquels le b\u00e9b\u00e9 agit ou avec lesquelles il interagit. Les regroupements des sch\u00e8mes de placement et de d\u00e9placement des objets ou du corps propre, et la permanence des objets auquel ces regroupements conduisent est la premi\u00e8re tr\u00e8s claire manifestation du r\u00f4le d\u00e9terminant que jouent les compositions structur\u00e9es d\u2019actions dans le fonctionnement et les r\u00e9ussites de l\u2019intelligence sensori-motrice, c\u2019est-\u00e0-dire de cette forme d\u2019intelligence qui agit sur les objets ou les personnes proches pour atteindre des buts pratiques non accessibles sans une r\u00e9elle et intentionnelle activit\u00e9 de coordination des moyens et des fins,<\/a>[1]<\/a> et donc une organisation constituante de l\u2019action propre et des objets sur lesquels elle porte.<\/p>\n

Lors de notre dernier cours, nous avons vu en outre comment la repr\u00e9sentation (gr\u00e2ce \u00e0 la construction de la fonction symbolique) intervient dans l\u2019\u00e9tape finale de cette construction de l\u2019intelligence sensori-motrice en permettant au b\u00e9b\u00e9 d\u2019\u00e9voquer des actions particuli\u00e8res ayant \u00e9t\u00e9 (et le plus souvent venant d\u2019\u00eatre) effectivement r\u00e9alis\u00e9es par lui ou par autrui, et d\u2019anticiper les actions \u00e0 effectuer pour atteindre un but souhait\u00e9, ces actions \u00e9voqu\u00e9es ou anticip\u00e9es composant, en lien avec l\u2019action en cours dans laquelle elles s\u2019ins\u00e8rent, des totalit\u00e9s organis\u00e9es plus ou moins stables et efficaces.<\/p>\n

Nous avons enfin vu comment, \u00e0 travers l\u2019exemple de la coordination des points de vue, la pens\u00e9e se lib\u00e8re de l\u2019action propre en donnant naissance \u00e0 un univers de la repr\u00e9sentation qui n\u2019est plus le simple prolongement de cette action, et qu\u2019il s\u2019agit d\u2019organiser progressivement de la m\u00eame mani\u00e8re que, lors des deux premi\u00e8res ann\u00e9es de vie, l\u2019univers de la proche perception s\u2019est progressivement structur\u00e9 en raison d\u2019une coordination toujours plus riche et pouss\u00e9e des sch\u00e8mes d\u2019actions sensori-motrices. Un bref aper\u00e7u sur les travaux beaucoup plus r\u00e9cents ayant pour objet la capacit\u00e9 de se repr\u00e9senter ad\u00e9quatement ce que pense autrui montre comment les d\u00e9couvertes de Piaget sur le d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence repr\u00e9sentative et plus particuli\u00e8rement sur la coordination des perspectives spatiales \u00e9clairent les r\u00e9ponses des enfants rapport\u00e9es dans ces travaux. Comme nous allons le voir de mani\u00e8re plus compl\u00e8te en examinant les recherches sur la gen\u00e8se de la pens\u00e9e logique et de la pens\u00e9e arithm\u00e9tique chez l\u2019enfant entre 4 et 8 ans, ce qui explique l\u2019extraordinaire port\u00e9e des travaux de Piaget sur la pens\u00e9e de l\u2019enfant est la d\u00e9couverte que, sous les comportements et les r\u00e9ponses des enfants parvenant \u00e0 r\u00e9soudre les multiples probl\u00e8mes cognitifs auxquels ils sont confront\u00e9s, se cachent la pr\u00e9sence d\u2019ensembles structur\u00e9s non plus de sch\u00e8mes d\u2019actions sensori-motrices mais d\u2019op\u00e9rations logico-math\u00e9matiques et de sch\u00e8mes op\u00e9ratoires, pouvant organiser et transformer les informations v\u00e9hicul\u00e9es par ces probl\u00e8mes pour aboutir \u00e0 des solutions ou r\u00e9ponses s\u2019imposant avec \u00e9vidence car fond\u00e9es en raison.<\/p>\n

Avant de d\u00e9couvrir \u00e0 travers quelques exemples paradigmatiques de la construction de la pens\u00e9e logique et de la pens\u00e9e arithm\u00e9tique de l\u2019enfant, comment se construisent de telles structures op\u00e9ratoires concr\u00e8tes et comment celles-ci se manifestent \u00e0 travers les r\u00e9ponses des enfants \u00e0 des \u00e9preuves cr\u00e9\u00e9es pour \u00e9tudier la gen\u00e8se de l\u2019intelligence, rappelons que les travaux de psychologie g\u00e9n\u00e9tique sur le d\u00e9veloppement cognitif doivent une grande part de leur originalit\u00e9 et de leur perspicacit\u00e9 au grand projet autour duquel gravite la quasi-totalit\u00e9 de l\u2019\u0153uvre de Piaget: rendre compte des origines de la raison humaine, et plus particuli\u00e8rement des fondements naturels des sciences ayant atteint un niveau indiscutable d\u2019objectivit\u00e9 et d\u2019universalit\u00e9 (comme le sont la logique, la science des nombres, la g\u00e9om\u00e9trie, ou m\u00eame la m\u00e9canique newtonienne, du moins \u00e0 une certaine \u00e9chelle d\u2019observation des ph\u00e9nom\u00e8nes physiques). L\u2019hypoth\u00e8se qui est \u00e0 la base des recherches psychologiques de Piaget est, en effet, que ces sciences reposent sur la raison humaine, qui est ant\u00e9rieure \u00e0 leur naissance, et dont on peut \u00e9tudier la gen\u00e8se par le biais de l\u2019\u00e9tude du d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e de l\u2019enfant et l\u2019adolescent (\u00e0 supposer bien s\u00fbr, ce que les faits corroboreront, que cette raison ne soit pas un donn\u00e9 pr\u00e9alable que cette pens\u00e9e ne ferait que refl\u00e9ter). Mais, comme on a pu l\u2019entrevoir dans notre pr\u00e9c\u00e9dent cours avec l\u2019exemple de la coordination des perspectives spatiales prolongeant et \u00e9largissant consid\u00e9rablement le travail de d\u00e9centration observable dans le d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence sensori-motrice, la pens\u00e9e de l\u2019enfant, repose \u00e0 son tour sur cette logique de l\u2019action que manifestent des conduites telles que celle de composer, avec l\u2019aide de la repr\u00e9sentation naissante, des d\u00e9placements judicieusement coordonn\u00e9s et encha\u00een\u00e9s pour atteindre un but en \u00e9cartant ou en contournant intentionnellement les obstacles qui emp\u00eachent son acc\u00e8s le plus direct \u2014 conduites observ\u00e9es non seulement vers 18 mois chez le b\u00e9b\u00e9 humain, mais aussi dans de nombreuses esp\u00e8ces animales. De m\u00eame, les op\u00e9rations de classification et de s\u00e9riation logiques, ainsi que la notion \u00e9l\u00e9mentaire de nombre dont on va examiner aujourd\u2019hui et dans les semaines qui viennent la gen\u00e8se, ont \u00e9galement des pr\u00e9curseurs dans le fonctionnement des sch\u00e8mes sensori-moteurs (par exemple, le classement<\/em> sensori-moteur<\/em> des objets, en d\u2019autres termes, le lien implicite d\u2019\u00e9quivalence reconnu entre des objets en tant que ceux-ci sont assimil\u00e9s \u00e0 un m\u00eame sch\u00e8me d\u2019action, l\u2019ordonnancement ou la s\u00e9riation<\/em> des actions dans le temps, ou encore la perception de la num\u00e9rosit\u00e9<\/em> des petites collections d\u2019objets, etc.; on retrouvera quelques exemples plus loin de ce possible ancrage initial de la logique de la pens\u00e9e<\/em> dans la logique de l\u2019action<\/em>). Mais l\u00e0 ne s\u2019arr\u00eate pas l\u2019hypoth\u00e8se de Piaget, puisque, selon lui, la logique \u00e0 l\u2019\u0153uvre dans les coordinations de l\u2019intelligence sensori-motrice est le point d\u2019aboutissement d\u2019une gen\u00e8se dont le point de d\u00e9part se trouvent dans des instincts dont l\u2019examen r\u00e9v\u00e8le qu\u2019ils sont eux-m\u00eames compos\u00e9s de coordinations (inn\u00e9es) d\u2019action qui peuvent \u00eatre tr\u00e8s complexes et qui justifient le fait de parler d\u2019une v\u00e9ritable logique de l\u2019instinct<\/em>. Enfin, derni\u00e8re \u00e9tape de cette r\u00e9gression vers les sources ultimes de la raison et donc des sciences, Piaget ne manque pas de souligner comment les coordinations internes propre aux instincts et aux organes qu\u2019ils impliquent ne sont que l\u2019une des nombreuses sortes de coordination vitale (cf. les rythmes ou les cycles biologiques) qui ont conduit les biologistes \u00e0 accepter l\u2019id\u00e9e d\u2019une \u00ab\u00a0logique du vivant <\/em>\u00bb selon l\u2019expression adopt\u00e9e par le biologiste fran\u00e7ais Fran\u00e7ois Jacob pour intituler l\u2019un de ses ouvrages<\/a>[2]<\/a>. En d\u00e9finitive, si les sciences logiques, math\u00e9matiques et naturelles peuvent atteindre le niveau d\u2019objectivit\u00e9 et d\u2019universalit\u00e9 qui les caract\u00e9rise, c\u2019est certes parce qu\u2019elles multiplient les exp\u00e9riences leur permettant de conna\u00eetre empiriquement la r\u00e9alit\u00e9 ext\u00e9rieure, mais c\u2019est aussi et surtout parce que, par l\u2019interm\u00e9diaire de la raison humaine, de l\u2019intelligence animale et de la logique du vivant, les cadres logico-math\u00e9matiques au moyen desquels elles assimilent, organisent et expliquent cette r\u00e9alit\u00e9 ext\u00e9rieure sont d\u00e8s leurs plus profondes racines psychologiques et biologiques en phase avec le r\u00e9el physique dont sont issues et auquel s\u2019adaptent la vie et la pens\u00e9e, r\u00e9el dont la pens\u00e9e scientifique ne peut que progressivement et sans fin esp\u00e9rer se rapprocher, gr\u00e2ce aux efforts coordonn\u00e9s de la d\u00e9duction math\u00e9matique qui, de l\u2019int\u00e9rieur du sujet et de l\u2019organisme, le prolonge, et de l\u2019exp\u00e9rience qui, de l\u2019ext\u00e9rieur, s\u2019y confronte.<\/p>\n

Cela rappel\u00e9, concentrons-nous maintenant sur quelques-unes des recherches consacr\u00e9es par Piaget \u00e0 la psychogen\u00e8se de la pens\u00e9e logique de l\u2019enfant, dont on va voir qu\u2019elles sont constamment d\u00e9pendantes des interrogations et de la formation \u00e9pist\u00e9mologiques de leur auteur, d\u2019o\u00f9 leur originalit\u00e9, leur perspicacit\u00e9 et leur port\u00e9e tout \u00e0 la fois psychologiques et \u00e9pist\u00e9mologiques. Conform\u00e9ment \u00e0 la m\u00e9thode que nous avons adopt\u00e9e pour ce cours, nous allons commencer par prendre connaissance du contexte pr\u00e9existant \u00e0 partir duquel Piaget a \u00e9difi\u00e9 ces recherches.<\/p>\n

I. Contexte \u00e9pist\u00e9mologique initial et premi\u00e8res recherches psychologiques<\/small><\/h3>\n

1. La logique<\/h4>\n

Lorsqu\u2019on lit les auteurs de la fin du 19e<\/sup> et du d\u00e9but du 20e<\/sup> si\u00e8cle, on y aper\u00e7oit une double conception ou orientation de la science logique, l\u2019une ancienne, h\u00e9rit\u00e9e de la philosophie grecque et qui a perdu peu \u00e0 peu le primat voire l\u2019exclusivit\u00e9 qui lui fut accord\u00e9 jusqu\u2019au 18e<\/sup> si\u00e8cle inclus, l\u2019autre qui a d\u00e9marr\u00e9 avec Leibniz, \u00e0 la fin du 17e<\/sup> si\u00e8cle, mais qui a pris son v\u00e9ritable envol au 19e<\/sup> si\u00e8cle. La premi\u00e8re orientation, qui restera longtemps sous-jacente \u00e0 la science logique m\u00eame apr\u00e8s avoir perdu son caract\u00e8re prioritaire, con\u00e7oit cette science avant tout comme l\u2019art d\u2019atteindre le Vrai et de raisonner correctement \u00e0 son propos, donc l\u2019art du syllogisme, qui a perdu peu \u00e0 peu son prestige. Cet art tout entier concern\u00e9 par le Vrai et les \u00e9nonc\u00e9s qui l\u2019expriment, Aristote et les logiciens de son \u00e9poque l\u2019ont d\u00e9gag\u00e9 en \u00e9tudiant comment l\u2019\u00eatre humain dou\u00e9 de raison s\u2019y prend pour \u00e9noncer des affirmations indiscutables (voir \u00e0 ce sujet le petit livre de Charles Serrus Essai sur la signification de la logique<\/em>). Aux yeux de ces auteurs et d\u2019Aristote en tout premier lieu, il ne fallait pas aller bien loin pour d\u00e9velopper cette science du Vrai. Ils trouvaient dans les formes m\u00eames du langage courant, et particuli\u00e8rement dans la forme pr\u00e9dicative d\u2019affirmation dans laquelle quelque chose est dit du sujet de la proposition, le reflet de cette logique par laquelle l\u2019\u00eatre humain formule des v\u00e9rit\u00e9s jug\u00e9es indubitables. De ce que je sais avec certitude que Socrate est un homme, et de ce je sais que les hommes ont pour essence d\u2019\u00eatre mortel, je peux en d\u00e9duire sans l\u2019ombre d\u2019un doute que Socrate est mortel (c\u2019est l\u00e0 une forme bien connue de syllogisme, le syllogisme en bArbArA qui lie d\u00e9ductivement les unes aux autres trois affirmations, dont les deux premi\u00e8res sont les pr\u00e9misses et la troisi\u00e8me la conclusion). Plus tard, les logiciens ne retiendront de l\u2019analyse de ce genre de raisonnement commun que la technique elle-m\u00eame qui ne sera plus qu\u2019une petite partie de la th\u00e9orie logique. Mais pendant longtemps, pour bien des logiciels comme pour Aristote qui en \u00e9tait le principal auteur, ce premier art de bien raisonner qu\u2019\u00e9tait la syllogistique trouvait son fondement dans l\u2019essence m\u00eame des choses, suppos\u00e9es pr\u00e9exister \u00e0 la pens\u00e9e discursive de l\u2019\u00eatre humain. Dans cette orientation premi\u00e8re, la science logique apparaissait ainsi comme le reflet de l\u2019ontologie, de la science de l\u2019\u00eatre, qui elle-m\u00eame se refl\u00e9tait dans le langage par lequel et \u00e0 travers lequel le logicien et tout \u00eatre dou\u00e9 de raison rejoignait et saisissait le Vrai. Comme d\u00e9j\u00e0 dit, cette dimension avant tout ontologique de la logique perdra peu \u00e0 peu de sa force, au fur et \u00e0 mesure que les techniques de raisonnement se multiplieront et que l\u2019\u00e9tude (scientifique) de la nature se distancera de la vision aristot\u00e9licienne du vrai. Mais une chose pourra perdurer: le fait que la logique reste envers et contre tout la science de toutes les formes de raisonnement visant \u00e0 formuler le vrai ou du moins \u00e0 conserver, \u00e0 travers l\u2019encha\u00eenement raisonn\u00e9 des propositions, la valeur de v\u00e9rit\u00e9 (ou de fausset\u00e9, ou de plausibilit\u00e9 etc.) des \u00e9nonc\u00e9s une fois celle-ci provisoirement ou durablement admise. En bref, de par cette origine, la logique restera toujours une science normative, qui indique comment proc\u00e9der, quelle technique de raisonnement adopter, pour \u00eatre certain que la v\u00e9rit\u00e9 est conserv\u00e9e \u00e0 travers les cha\u00eenes de raisonnement, aussi longues et complexes soient-elles. Piaget r\u00e9sumera cette dimension normative de la logique en qualifiant cette science de \u00ab\u00a0morale de la pens\u00e9e\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Mais d\u00e8s Leibniz au moins, et surtout \u00e0 partir du 19e<\/sup> si\u00e8cle, tout en restant une science du raisonnement vrai, la logique a pris une tournure la rapprochant consid\u00e9rablement du mode pens\u00e9e proprement math\u00e9matique, en donnant naissance \u00e0 ces disciplines que sont la logique alg\u00e9brique (manipulant, comme l\u2019alg\u00e8bre classique, des symboles op\u00e9ratoires exprimant non seulement des propositions ou autres contenus logiques, mais \u00e9galement des op\u00e9rations logique, ainsi qu\u2019on le verra tout de suite) et la logique math\u00e9matique, laquelle se donne entre autres pour t\u00e2che de fonder toutes les sciences au sens aujourd\u2019hui accept\u00e9 du terme \u00ab\u00a0science\u00a0\u00bb, et en tout premier lieu les diff\u00e9rentes branches des math\u00e9matiques (logique incluse) en tant que ces sciences formulent des \u00e9nonc\u00e9s et des th\u00e8ses atteignant, gr\u00e2ce \u00e0 des m\u00e9thodes de d\u00e9monstration elles-m\u00eames math\u00e9matiquement \u00e9prouv\u00e9es, une objectivit\u00e9 et une universalit\u00e9 maximales. Cette nouvelle science logique que constituent la logique alg\u00e9brique et la logique math\u00e9matique ne se pr\u00e9sente donc plus, sinon marginalement, comme une science ontologique ni m\u00eame comme la science de l\u2019art de raisonner correctement. Elle se veut, et est pour une large part, tout \u00e0 la fois une partie de la science math\u00e9matique et son fondement. Si, de la premi\u00e8re sorte de logique, Piaget a retenu son caract\u00e8re profond\u00e9ment normatif (la logique comme \u00ab\u00a0morale de la pens\u00e9e\u00a0\u00bb), de la seconde il retiendra \u00e0 la fois, au moins en partie, sa technicit\u00e9 et son projet de fonder les math\u00e9matiques, en les adaptant \u00e0 son propre projet psychologique et \u00e9pist\u00e9mologique (l\u2019\u00e9tude de la gen\u00e8se du nombre et de l\u2019espace, autour et \u00e0 partir desquels s\u2019est construite toute la math\u00e9matique traditionnelle, des Grecs jusqu\u2019au 19e<\/sup> si\u00e8cle).<\/p>\n

Pour se faire une id\u00e9e pr\u00e9cise de ce qui, dans la nouvelle science logique, a pu jouer un r\u00f4le essentiel dans la gen\u00e8se de la psychologie g\u00e9n\u00e9tique de Piaget, r\u00e9sumons un petit ouvrage, \u00ab\u00a0L\u2019Alg\u00e8bre de la logique\u00a0\u00bb, cit\u00e9 dans plusieurs de ses \u00e9crits et qu\u2019il a lu tr\u00e8s certainement avec la plus grande attention lors de son ann\u00e9e de formation \u00e0 Paris, alors qu\u2019il d\u00e9marrait ses toutes premi\u00e8res recherches sur la pens\u00e9e logique de l\u2019enfant et de l\u2019adolescent.<\/p>\n

Louis Couturat, un des professeurs de Piaget lors de son s\u00e9jour \u00e0 Paris, r\u00e9sume dans cet ouvrage publi\u00e9 en 1905 une partie du travail d\u2019axiomatisation et de logicisation des math\u00e9matiques (logique incluse) effectu\u00e9 par des auteurs de premier ordre, tels que le math\u00e9maticien italien Peano, ou encore les philosophes et math\u00e9maticiens anglais Russell et Whitehead (auteurs de ce monument que sont les Principia mathematica<\/em>, dans lesquels c\u2019est la totalit\u00e9 ou presque de la logique et de la math\u00e9matique qui sont pr\u00e9sent\u00e9es, pour chacune de leurs sous-branches comme \u00e9difi\u00e9e sur des nombres r\u00e9duits d\u2019axiomes, ceci en partie dans le m\u00eame esprit que, chez Euclide, toute la g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tait pr\u00e9sent\u00e9e comme pouvant \u00eatre b\u00e2tie sur un nombre r\u00e9duit d\u2019axiomes, une telle d\u00e9marche permettant de mettre \u00e0 l\u2019\u00e9preuve la coh\u00e9rence des disciplines ainsi axiomatis\u00e9es).<\/p>\n

Dans la vision de Russell et Whitehead, que r\u00e9sume donc le petit ouvrage de Couturat, la logique se compose de trois grands domaines: la logique des propositions, la logique des classes et la logique des relations, auxquels correspondent (sous l\u2019angle de l\u2019alg\u00e8bre \u00e0 partir duquel ces trois sous-domaines sont consid\u00e9r\u00e9s) trois calculs<\/em> partiellement isomorphes, c\u2019est-\u00e0-dire plus ou moins compl\u00e8tement traduisibles les uns dans les autres: le calcul<\/em> des propositions, celui des classes et celui des relations (les deux derniers \u00e9tant con\u00e7us comme des sp\u00e9cialisations du premier, alors que dans l\u2019ordre de la psychogen\u00e8se, et comme on le verra, la logique des propositions est plus tardivement ma\u00eetris\u00e9e que la logique des classes et des relations).<\/p>\n

\u00c0 la base du calcul des classes, comme celui des propositions (ainsi que des relations asym\u00e9triques), on trouve chaque fois une unique relation exprim\u00e9e par le m\u00eame symbole: \u00ab\u00a0<\u00a0\u00bb. Dans la logique des classes (ou des concepts, celui de fleur correspondant par exemple \u00e0 la classe des fleurs, la derni\u00e8re correspondant \u00e0 l\u2019extension du premier), le symbole \u00ab\u00a0<\u00a0\u00bb exprime l\u2019inclusion d\u2019une classe dans une autre (ou la subsomption d\u2019un concept sous un concept de plus grande extension; exemple: \u00ab\u00a0tulipes\u00a0<\u00a0fleurs\u00a0\u00bb). Dans la logique des propositions, le m\u00eame symbole exprime l\u2019impli\u00adcation (aujourd\u2019hui symbolis\u00e9e par\u00a0\u00ab\u00a0⊃\u00a0\u00bb; \u00ab\u00a0p\u00a0<\u00a0q\u00a0\u00bb exprime le fait qu\u2019une proposition p<\/em> implique une autre proposition q<\/em>, par exemple, la proposition \u00ab\u00a0Socrate est un homme\u00a0\u00bb implique la proposition \u00ab\u00a0Socrate est mortel\u00a0\u00bb) <\/a>[3]<\/a>. Enfin, en logique des relations asym\u00e9triques, la m\u00eame symbole exprime toute relation asym\u00e9trique, par exemple, la relation \u00ab\u00a0plus petit que\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Une deuxi\u00e8me relation logique de base que l\u2019on retrouve dans les trois calculs est celle d\u2019\u00e9galit\u00e9 ou d\u2019\u00e9quivalence, exprim\u00e9e par le m\u00eame signe qu\u2019en arithm\u00e9tique, soit \u00ab\u00a0=\u00a0\u00bb. Elle peut \u00eatre d\u00e9finie \u00e0 partir de \u00ab\u00a0<\u00a0\u00bb: \u00ab\u00a0a\u00a0=\u00a0b\u00a0\u00bb si \u00ab\u00a0a\u00a0<\u00a0b\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0b\u00a0<\u00a0a\u00a0\u00bb. Par exemple, tout triangle \u00e9quilat\u00e9ral est un triangle \u00e9quiangle, et vice versa.<\/p>\n

Ce qui pr\u00e9c\u00e8de suffit \u00e0 montrer que les termes que relient les symboles de base \u00ab\u00a0<\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0=\u00a0\u00bb sont des classes (ou des concepts), des relations asym\u00e9triques ou des propositions.<\/p>\n

Pour chacun de ces trois calculs, le logicien formule les axiomes, c\u2019est-\u00e0-dire les propositions de d\u00e9part, \u00e0 partir desquelles toutes les expressions de ces trois calculs se laissent d\u00e9river en appliquant les r\u00e8gles qui leur sont propres (de la m\u00eame fa\u00e7on qu\u2019en arithm\u00e9tique \u00e9l\u00e9mentaire, le math\u00e9maticien a mis en exergue les propositions de base \u00e0 partir desquelles toutes les expressions vraies ou th\u00e9or\u00e8mes arithm\u00e9tiques se laissent calculer par simple application des r\u00e8gles du calcul arithm\u00e9tique).<\/p>\n

Certains axiomes sont communs aux trois calculs logiques. Par exemple, l\u2019axiome classiquement d\u00e9sign\u00e9 comme \u00e9tant le principe d\u2019identit\u00e9, \u00e0 savoir: \u00ab\u00a0a\u00a0<\u00a0a\u00a0\u00bb, dont on peut d\u00e9duire que \u00ab\u00a0a =\u00a0a\u00a0\u00bb. Ou encore le principe dit du syllogisme, et qui est fond\u00e9 sur la transitivit\u00e9 des relations logiques: (a\u00a0<\u00a0b) (b\u00a0<\u00a0c)\u00a0<\u00a0(a\u00a0<\u00a0c), d\u2019o\u00f9 peut se tirer l\u2019\u00e9quation: (a\u00a0=\u00a0b)(b\u00a0=\u00a0c)\u00a0<\u00a0(a\u00a0=\u00a0c), soit de a=b et de b=c on peut logiquement, et donc n\u00e9ces\u00adsairement, conclure que a=c (pour \u00eatre coh\u00e9rent avec la notion pr\u00e9c\u00e9dente concernant la notion d\u2019implication formelle, le symbole qu\u2019il conviendrait d\u2019utiliser ici est donc non pas \u00ab\u00a0<\u00a0\u00bb, mais \u00ab\u00a0⇒\u00a0\u00bb; mais comme cette distinction n\u2019est pas expos\u00e9e dans le petit ouvrage de Couturat, nous nous en tenons aux symboles utilis\u00e9s dans celui-ci, notre propos en le r\u00e9sumant \u00e9tant avant tout d\u2019illustrer ce qui \u00e9tait vraisemblablement le contexte dans lequel Piaget a d\u00e9velopp\u00e9 sa vision de la science logique qui va guider ses recherches de psychologie g\u00e9n\u00e9tique sur la pens\u00e9e logique de l\u2019enfant, une pens\u00e9e dont il va constater qu\u2019elle est voisine des travaux de symbolisation de la logique tels qu\u2019ils sont r\u00e9sum\u00e9s dans cet ouvrage de 1905, mais qui prennent une forme beaucoup plus pr\u00e9cise et d\u00e9velopp\u00e9e dans les \u00e9crits de Russell, avec lesquels Piaget se familiarisera \u00e9galement tr\u00e8s t\u00f4t).<\/p>\n

Enfin, rapportons encore un dernier pan de cette logique moderne dont Piaget a pu trouver un r\u00e9sum\u00e9 dans l\u2019ouvrage de Couturat, pan qui en est peut-\u00eatre le plus important en ce qu\u2019il fait de cette logique une alg\u00e8bre, \u00e0 savoir sa dimension op\u00e9ratoire, en d\u2019autres termes la pr\u00e9sence d\u2019op\u00e9rations d\u2019addition et de multiplication logiques telles que Leibniz avait d\u00e8s le 17e<\/sup> si\u00e8cle su reconna\u00eetre leur similitude avec les op\u00e9rations propres \u00e0 l\u2019arithm\u00e9tique. Voyons \u00e0 titre d\u2019illustration ce qu\u2019il en est de l\u2019addition logique <\/em>\u00ab\u00a0x\u00a0+\u00a0y\u00a0=\u00a0s\u00a0\u00bb, d\u00e9finie comme suit par Couturat. Pour un terme x<\/em> et pour un terme y<\/em> il existe un terme s<\/em> pour lequel on a \u00e0 la fois \u00ab\u00a0x\u00a0<\u00a0s\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0y\u00a0<\u00a0s\u00a0\u00bb et tel que, pour tout terme z, si x\u00a0<\u00a0z et y\u00a0<\u00a0z on a aussi s\u00a0<\u00a0z. Dans le calcul des classes, de l\u2019addition de deux ou n<\/em> classes en r\u00e9sulte une autre qui contient ni plus ni moins chacune des deux ou n <\/em>premi\u00e8res (exemple: l\u2019addition des hommes et des femmes = la classe des humains; or les hommes sont des vert\u00e9br\u00e9s, les femmes aussi, donc les humains le sont) et qui est elle-m\u00eame contenu dans toute classe (dans cet exemple les vert\u00e9br\u00e9s) contenant la classe des hommes et celles des femmes.<\/a>[4]<\/a> Dans le calcul des propositions, l\u2019expression \u00ab\u00a0p\u00a0+\u00a0q\u00a0= r\u00a0\u00bb signifie que l\u2019addition (en d\u2019autres termes le ou<\/em> non disjonctif aujourd\u2019hui symbolis\u00e9 par \u00ab\u00a0v\u00a0\u00bb) de deux propositions symbolis\u00e9es par p<\/em> ou q<\/em> est une proposition r<\/em> qui est impliqu\u00e9e par chacune des deux pr\u00e9c\u00e9dentes et qui implique toute proposition impliqu\u00e9e par celles-ci.<\/p>\n

Comme nous le verrons un peu plus loin en examinant quelques-uns des faits recueillis par Piaget dans ses travaux les plus connus sur le d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e logique concr\u00e8te de l\u2019enfant, on retrouvera dans l\u2019analyse de ces faits un usage hautement f\u00e9cond de la logique alg\u00e9brique comme instrument non seulement de mod\u00e9lisation de ces faits, mais aussi et surtout des structures op\u00e9ratoires sous-jacentes qui expliquent les caract\u00e9ristiques de la pens\u00e9e logique concr\u00e8te telle qu\u2019elle se manifeste \u00e0 partir de 6-7 ans environ. Mais un bref extrait du livre du premier ouvrage publi\u00e9 par Piaget en 1924 sur \u00ab\u00a0Le jugement et le raisonnement chez l\u2019enfant\u00a0\u00bb r\u00e9v\u00e8le comment l\u2019alg\u00e8bre de la logique a orient\u00e9 d\u00e8s le d\u00e9but son approche psychologique de la pens\u00e9e de l\u2019enfant. Piaget y d\u00e9finit dans les termes suivants ce qu\u2019il con\u00e7oit \u00e9galement comme une addition logique de deux classes chez l\u2019enfant: une telle op\u00e9ration \u00ab\u00a0consiste \u00e0 trouver la plus petite des classes qui les contienne toutes deux\u00a0\u00bb, par exemple la classe des animaux pour ce qui est des deux classes que sont les vert\u00e9br\u00e9s et les invert\u00e9br\u00e9s. De m\u00eame d\u00e9finit-il ce qu\u2019il appelle, \u00e0 la suite des logiciens, la multiplication logique de deux classes telles que les protestants et les genevois comme \u00e9tant \u00ab\u00a0l\u2019op\u00e9ration qui consiste \u00e0 trouver la plus grande des classes qui soit contenues dans ces deux classes \u00e0 la fois\u00a0\u00bb, \u00e0 savoir les protestants genevois. Ceci para\u00eet assez trivial, n\u00e9anmoins cette approche tout \u00e0 fait originale que Piaget adopte en \u00e9tudiant la pens\u00e9e de l\u2019enfant se r\u00e9v\u00e9lera \u00eatre d\u2019une exceptionnelle f\u00e9condit\u00e9.<\/p>\n

Mais avant de pr\u00e9senter avec quelques d\u00e9tails quelques-unes des recherches piag\u00e9tiennes sur la gen\u00e8se des op\u00e9rations logiques chez l\u2019enfant, exposons bri\u00e8vement quel \u00e9tait l\u2019avancement des recherches sur la pens\u00e9e de l\u2019enfant dans les ann\u00e9es o\u00f9 Piaget a d\u00e9marr\u00e9 ses propres travaux. Cela nous permettra d\u2019appr\u00e9cier l\u2019importance et l\u2019originalit\u00e9 de ces derniers.<\/p>\n

2. La psychologie<\/h4>\n

Comme pour la logique, Piaget a bien entendu pris connaissance des travaux r\u00e9alis\u00e9s avant lui dans le domaine de la psychologie de l\u2019enfant. Sur ce terrain cependant, les avanc\u00e9es \u00e9taient encore rares, la psychologie scientifique n\u2019\u00e9tant n\u00e9e qu\u2019\u00e0 la fin du 19e<\/sup> si\u00e8cle. Un seul auteur avait d\u00e9velopp\u00e9 une th\u00e9orie du d\u00e9veloppement cognitif de grande profondeur et ampleur (du b\u00e9b\u00e9 jusqu\u2019\u00e0 l\u2019adolescence), \u00e0 savoir J.-M. Baldwin, qui, comme Piaget, avait vu la pertinence d\u2019\u00e9tablir des liens entre le d\u00e9veloppement cognitif chez l\u2019enfant et l\u2019\u00e9volution des esp\u00e8ces, et plus g\u00e9n\u00e9ralement entre la psychologie et la biologie. Cependant les conceptions d\u00e9veloppementales de Baldwin, proches \u00e0 bien des \u00e9gards de celles que Piaget d\u00e9veloppera ult\u00e9rieurement (on y trouve par exemple d\u00e9j\u00e0 une place centrale accord\u00e9e aux notions d\u2019assimilation et d\u2019accommodation), souffrent d\u2019un d\u00e9faut majeur: si l\u2019on s\u2019en tient aux \u00e9crits publi\u00e9s, elles restent largement th\u00e9oriques, sans \u00eatre \u00e9troitement reli\u00e9es \u00e0 un recueil, une description et une analyse syst\u00e9matiques des faits comme cela sera le cas chez Piaget. Par ailleurs, et contrairement \u00e0 son jeune coll\u00e8gue, il manque chez Baldwin le bagage tr\u00e8s \u00e9tendu de connaissance acquis par Piaget en \u00e9pist\u00e9mologie et en histoire des sciences, ceci en d\u00e9pit du fait qu\u2019on doit \u00e0 Baldwin l\u2019invention du terme \u00ab\u00a0\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique\u00a0\u00bb, mais entendu dans un sens tr\u00e8s r\u00e9duit car ne couvrant, chez lui, que l\u2019\u00e9tude du d\u00e9veloppement cognitif de l\u2019enfant, sans interrogations proprement \u00e9pist\u00e9mologiques \u00e0 propos des notions de nombre, d\u2019espace, de temps, de causalit\u00e9, de quantit\u00e9s physiques, etc. (alors que chez Piaget l\u2019\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique, si elle prend un appui crucial sur l\u2019\u00e9tude du d\u00e9veloppement cognitif de l\u2019enfant, reste avant tout une science de la science et des notions scientifiques).<\/p>\n

Au sein de la psychologie de l\u2019enfant, c\u2019est donc avant tout, et comme d\u00e9j\u00e0 signal\u00e9 lors du premier cours, les travaux portant sur le diagnostic de l\u2019intelligence qui, s\u2019ils n\u2019apportaient qu\u2019un faible \u00e9clairage sur la nature de cette derni\u00e8re, vont fournir \u00e0 Piaget la cl\u00e9 lui permettant d\u2019acc\u00e9der au fonctionnement de la pens\u00e9e de l\u2019enfant. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, ils vont l\u2019aider \u00e0 cr\u00e9er la m\u00e9thode par laquelle il r\u00e9ussira \u00e0 percer cette nature. Rappelons en effet que c\u2019est lors de son ann\u00e9e de formation pass\u00e9e \u00e0 Paris entre 1919 et 1921 que Piaget a eu l\u2019opportunit\u00e9 d\u2019interroger des enfants sur des tests de diagnostic de intelligence logique initialement \u00e9labor\u00e9s pour la plupart par le psychologue anglais Cyril Burt et dont le jeune Piaget avait la charge de les \u00e9talonner aupr\u00e8s d\u2019enfants de la population parisienne (c\u2019est-\u00e0-dire de trouver les \u00e2ges moyens auxquels les enfants parisiens parvenaient \u00e0 r\u00e9soudre des tests d\u2019intelligence de niveaux de difficult\u00e9 statistiquement diff\u00e9renci\u00e9s). Mais, et c\u2019est l\u00e0 qu\u2019un vrai changement de paradigme \u00e0 la fois m\u00e9thodologique et th\u00e9orique se produit, au lieu de s\u2019en tenir \u00e0 ce travail purement statistique d\u2019\u00e9talonnage des tests dont Th\u00e9odore Simon\u00a0<\/a>[5]<\/a> l\u2019avait charg\u00e9, Piaget se met \u00e0 dialoguer avec les enfants qu\u2019il interroge en cherchant \u00e0 comprendre les raisons de leur \u00e9chec ou de leur r\u00e9ussite \u00e0 ces tests qui, envisag\u00e9s sous ce nouvel angle, sont le point de d\u00e9part de l\u2019invention de multiples situations-probl\u00e8mes dont la finalit\u00e9 est d\u2019\u00e9tudier la gen\u00e8se de la pens\u00e9e logico-math\u00e9matique et physique chez l\u2019enfant et l\u2019adolescent, et \u00e0 travers cette \u00e9tude, de d\u00e9couvrir les racines des sciences logico-math\u00e9matiques et de la nature (d\u00e9couverte suppos\u00e9e apporter des r\u00e9ponses scientifiquement fond\u00e9es \u00e0 toute une s\u00e9rie d\u2019interrogations \u00e9pist\u00e9mologiques, dont la plus fondamentale, \u00e0 savoir celle, kantienne, des conditions de possibilit\u00e9 de ces sciences).<\/p>\n

Voil\u00e0 \u00e0 titre d\u2019exemples deux des tests de Burt dans leur version simplifi\u00e9e adopt\u00e9e par Piaget dans ses premiers travaux sur le d\u00e9veloppement de la logique chez l\u2019enfant. Le premier concerne la logique des classes<\/em> et est pr\u00e9sent\u00e9 comme suit \u00e0 l\u2019enfant: \u00ab\u00a0Jean dit \u00e0 ses s\u0153urs: \u201cUne partie de mes fleurs sont jaunes\u201d. Puis il leur demande la couleur qu’a son bouquet. Marie dit: \u201cToutes tes fleurs sont jaunes\u201d. Simone dit: \u201cQuelques-unes de tes fleurs sont jaunes\u201d et Rose dit: \u201cAucune de tes fleurs n’est jaune\u201d\u00a0\u00bb. \u00ab\u00a0Laquelle a raison\u00a0?\u00a0\u00bb, demande alors le psychologue \u00e0 l\u2019enfant.<\/p>\n

Et voil\u00e0 le deuxi\u00e8me probl\u00e8me qui, lui, concerne la logique des relations asym\u00e9triques<\/em> : \u00ab\u00a0Edith est plus blonde que Suzanne. Edith est plus brune que Lili. Laquelle est la plus fonc\u00e9e, Edith, Suzanne ou Lili ?\u00a0\u00bb, demande le psychologue \u00e0 l\u2019enfant. Le probl\u00e8me qui se pose en ce cas \u00e0 l\u2019enfant est de sortir de la \u00ab\u00a0pseudo-contradiction\u00a0\u00bb que semble \u00eatre l\u2019attribution \u00e0 Edith de cheveux simultan\u00e9ment bruns et blonds, ou fonc\u00e9s et clairs.\u00a0<\/a>[6]<\/a> \u00c0 noter \u00e9galement que ce probl\u00e8me, comme le pr\u00e9c\u00e9dent, est pr\u00e9sent\u00e9 sous une forme purement verbale, ce qui appara\u00eetra assez rapidement \u00e0 Piaget \u00eatre un d\u00e9faut, ou une complication qui cache l\u2019existence d\u2019une logique plus \u00e9l\u00e9mentaire que la logique verbale traditionnelle, dont on retrouve l\u2019emprise jusque dans le caract\u00e8re primordial accord\u00e9 par les logiciens modernes \u00e0 la logique des propositions par rapport \u00e0 la logique des classes et des relations, d\u00e9faut auquel Piaget et ses proches coll\u00e8gues psychologues rem\u00e9dieront par l\u2019utilisation d\u2019un mat\u00e9riel concret servant de support aux questions pos\u00e9es aux enfants.<\/p>\n

En raison de ce d\u00e9faut de m\u00e9thode, je ne m\u2019arr\u00eaterai pas ici sur les nombreux r\u00e9sultats auquel a conduit cette premi\u00e8re approche de la pens\u00e9e de l\u2019enfant presque exclusivement utilis\u00e9e par Piaget lors de sa premi\u00e8re d\u00e9cennie de recherches en psychologie. Je signale simplement que c\u2019est seulement vers 10 ans que les enfants parviennent \u00e0 r\u00e9soudre de tels probl\u00e8mes verbaux relevant soit de la logique des classes soit de la logique des relations asym\u00e9triques (c\u2019est-\u00e0-dire des relations pour lesquelles l\u2019usage du \u00ab\u00a0plus\u00a0\u00bb et du \u00ab\u00a0moins\u00a0\u00bb fait sens). Par la suite, il appara\u00eetra qu\u2019une mani\u00e8re beaucoup plus concr\u00e8te de poser les m\u00eames probl\u00e8mes permettra aux enfants interrog\u00e9s de les r\u00e9soudre d\u00e8s l\u2019\u00e2ge de 7-8 ans. C\u2019est ce que l\u2019on verra un peu plus loin, une fois formul\u00e9es les conclusions que l\u2019on peut tirer de ce bref aper\u00e7u du contexte dans lequel Piaget a d\u00e9marr\u00e9 ses travaux sur la pens\u00e9e<\/p>\n

3. Le contexte des premi\u00e8res recherches: conclusion<\/h4>\n

Les quelques consid\u00e9rations pr\u00e9c\u00e9dentes suffisent \u00e0 montrer comment, au d\u00e9part de son \u0153uvre psychologique, Piaget a abord\u00e9 le probl\u00e8me du d\u00e9veloppement cognitif des enfants et des adolescents. Tout en s\u2019appuyant sur les travaux des psychologues de l\u2019enfance du d\u00e9but du 20e<\/sup> si\u00e8cle, Piaget s\u2019en distancie aussit\u00f4t, tant sur le plan des questions qu\u2019il cherche \u00e0 r\u00e9soudre et qui sont chez lui tout \u00e0 la fois \u00e9pist\u00e9mologiques et psychologiques, que sur le plan de la m\u00e9thode mais aussi du cadre th\u00e9orique qu\u2019il adopte et qui b\u00e9n\u00e9ficie de la triple formation acquise par ailleurs par lui en biologie, en \u00e9pist\u00e9mologie et en logique. Cependant, \u00e0 s\u2019en tenir aux contenus des articles et ouvrages publi\u00e9s dans les ann\u00e9es 1920, ses premi\u00e8res recherches psychologiques souffrent, ainsi qu\u2019on vient de le constater, d\u2019un d\u00e9faut majeur, du moins si on les compare avec ce qui deviendra l\u2019une des caract\u00e9ristiques principales de la voie d\u2019acc\u00e8s \u00e0 l\u2019intelligence enfantine. Piaget a en effet d\u00e9marr\u00e9 son activit\u00e9 psychologique avec \u00ab\u00a0l\u2019id\u00e9e qui pouvait para\u00eetre la plus naturelle en ne connaissant d\u2019avance que la logique adulte [\u2026]: c\u2019est que la logique est intimement li\u00e9e au \u00ab\u00a0discours\u00a0\u00bb, et que c\u2019est donc sur le plan du langage ou de la pens\u00e9e verbale qu\u2019il convenait \u00bb d\u2019en entreprendre l\u2019\u00e9tude (Piaget, 1924, avant-propos de la 3e<\/sup> \u00e9dition p. 5, dat\u00e9 de juin 1947). Certes, Piaget avait d\u00e8s le d\u00e9but \u00e0 l\u2019esprit l\u2019id\u00e9e que cette logique du jugement et du raisonnement telle qu\u2019elle se manifeste \u00e0 travers le langage plonge ses racines dans la logique de l\u2019action. Mais dans les ann\u00e9es 1920, il pouvait avoir le sentiment que les travaux sur la naissance de l\u2019intelligence sensori-motrice d\u00e9marr\u00e9s d\u00e8s la naissance de son premier enfant, en janvier 1925, suffirait \u00e0 faire conna\u00eetre cette logique de l\u2019action. Or l\u2019un des grandes trouvailles de Piaget sera de d\u00e9couvrir tr\u00e8s rapidement qu\u2019entre la logique de l\u2019action sensori-motrice et la logique discursive, il existe une pens\u00e9e concr\u00e8te mettant en \u0153uvre des op\u00e9rations logiques portant sur les objets de cette pens\u00e9e, op\u00e9rations que l\u2019on peut mettre en correspondance avec celles formalis\u00e9es par les logiciens, ce qui permettra de r\u00e9soudre la question du fondement naturel des op\u00e9rations logiques de classe et de relation, lesquelles pourront \u00eatre d\u00e8s lors consid\u00e9r\u00e9es comme le prolongement, sur le plan de la repr\u00e9sentation, des classifications et mises en relation propres \u00e0 l\u2019activit\u00e9 sensori-motrice, mais un prolongement qui, comme on va le voir, n\u00e9cessite chez l\u2019enfant toute une reconstruction s\u2019\u00e9talant entre 2-3 ans et 9-10 ans (voir \u00e0 ce sujet les premiers paragraphe de l\u2019avant-propos de la 1\u00e8re<\/sup> \u00e9dition de La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/em>, de 1941). Cette d\u00e9couverte d\u2019une forme concr\u00e8te de pens\u00e9e logique pr\u00e9c\u00e9dant la logique discursive r\u00e9sulte de la conscience acquise tr\u00e8s t\u00f4t chez Piaget (d\u00e8s 1926-27, voire avant) que pour mettre \u00e0 jour la pens\u00e9e logique de l\u2019enfant, la m\u00e9thode d\u2019entretien clinique visant le seul \u00e9change verbal entre enfant et adulte ne suffit pas et qu\u2019il conviendrait de compl\u00e9ter les \u00e9changes verbaux en confrontant l\u2019enfant \u00e0 des probl\u00e8mes concrets, impliquant des objets pouvant \u00eatre manipul\u00e9s par lui. Un passage de son livre de 1927 sur La causalit\u00e9 physique chez l\u2019enfant<\/em> est tr\u00e8s clair \u00e0 ce sujet et m\u00e9rite d\u2019\u00eatre cit\u00e9 presque in extenso. Piaget y d\u00e9crit trois m\u00e9thodes qui peuvent \u00eatre utilis\u00e9es lors d\u2019un entretien clinique avec les enfants conduit, en l\u2019occurrence, dans le but de conna\u00eetre leur conception de la causalit\u00e9:<\/p>\n

Les m\u00e9thodes qui se proposent \u00e0 nous [\u2026] sont au nombre de trois, de valeur tr\u00e8s in\u00e9gale, mais qu\u2019il importe cependant d\u2019employer concurremment, pour \u00eatre s\u00fbr de ne rien laisser \u00e9chapper d\u2019int\u00e9ressant. La premi\u00e8re est une m\u00e9thode toute verbale : demander aux enfants si les corps [physiques] ont de la force et pourquoi. L\u2019on obtient ainsi la d\u00e9finition ou la notion verbale de la force. La seconde est une m\u00e9thode mi-verbale, mi-concr\u00e8te : on \u00e9num\u00e8re \u00e0 l\u2019enfant un certain nombre de mouvements (celui des nuages, des ruisseaux, des pi\u00e8ces d\u2019une machine, etc.) et l\u2019on demande le pourquoi et le comment de ces mouvements. [\u2026] Enfin la troisi\u00e8me m\u00e9thode est directe, autant que faire se peut: on institue devant l\u2019enfant, quelques petites exp\u00e9riences de physique et l\u2019on demande le pourquoi de chaque \u00e9v\u00e9nement. On obtient ainsi des renseignements de premi\u00e8re main sur l\u2019orientation d\u2019esprit des enfants. (pp. 3-4)<\/p>\n

Ce qu\u2019affirme ici Piaget peut bien entendu \u00eatre g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 \u00e0 toute recherche visant \u00e0 conna\u00eetre les particularit\u00e9s de la pens\u00e9e de l\u2019enfant. Transpos\u00e9e \u00e0 la situation d\u2019examen de la pens\u00e9e logique de l\u2019enfant, la deuxi\u00e8me m\u00e9thode est celle qui a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e avec les tests de Burt dont il a \u00e9t\u00e9 question pr\u00e9c\u00e9demment et dans lesquels il s\u2019agissait pour les enfants interrog\u00e9s de d\u00e9cider des r\u00e9ponses correctes \u00e0 donner \u00e0 un probl\u00e8me logique \u00e9nonc\u00e9 verbalement.<\/p>\n

Ce que r\u00e9v\u00e8le \u00e9galement ce passage ainsi que d\u2019autres se trouvant dans les publications des ann\u00e9es 1920, c\u2019est que, si tous les r\u00e9sultats rapport\u00e9s par Piaget dans celles-ci sont toujours bas\u00e9s sur une m\u00e9thode soit purement verbale, soit, comme il le dit, sur une m\u00e9thode mi-verbal, mi-concr\u00e8te (le concret en question restant n\u00e9anmoins toujours pr\u00e9sent\u00e9 sur le seul plan verbal), certains travaux sont d\u00e9j\u00e0 en cours dont les r\u00e9sultats feront quelques ann\u00e9es plus tard \u00e9clater les conclusions tir\u00e9es de cette approche \u00ab\u00a0mi-verbale, mi-concr\u00e8te\u00a0\u00bb (en r\u00e9alit\u00e9 encore beaucoup trop verbale\u00a0!), mais travaux en cours dont Piaget ne prend alors pas conscience de la refonte qu\u2019ils exigeront de sa conception premi\u00e8re des rapports entre la logique de l\u2019action et la logique de la pens\u00e9e chez l\u2019enfant. Il faudra attendre les ann\u00e9es trente pour que l\u2019usage de cette troisi\u00e8me m\u00e9thode et le grand nombre de faits inattendus et r\u00e9v\u00e9lateurs auquel va conduire le recours \u00e0 des objets bien r\u00e9els conduisent \u00e0 mettre en lumi\u00e8re la structure originale de la pens\u00e9e de l\u2019enfant telle qu\u2019elle \u00e9merge non pas vers 9-10 ans, comme le laissaient croire les r\u00e9ponses des enfants aux tests de Burt, mais d\u00e8s 6-7 ans Certes, l\u2019usage de l\u2019approche verbale a pu d\u00e9j\u00e0 apporter des r\u00e9sultats importants en ce qui concerne les particularit\u00e9s de cette pens\u00e9e, notamment le passage d\u2019une forme \u00ab\u00a0\u00e9gocentr\u00e9e\u00a0\u00bb \u00e0 une forme de pens\u00e9e d\u00e9centr\u00e9e apte \u00e0 coordonner entre eux des jugements formul\u00e9s \u00e0 partir de diff\u00e9rents points de vue (ce processus de d\u00e9centration reproduisant sur le plan du d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e de l\u2019enfant le processus parall\u00e8lement observ\u00e9s lors du d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence sensori-motrice). Mais cette approche verbale passe \u00e0 c\u00f4t\u00e9 d\u2019un fait majeur qui prendra toute son importance dans les ann\u00e9es 1930: que l\u2019enfant de 7-8 ans ne puisse pas r\u00e9soudre sur le plan verbal des probl\u00e8mes de logique tel que ceux rencontr\u00e9s dans les tests de Burt ne signifie pas qu\u2019il n\u2019ait pas d\u00e9j\u00e0 construit les op\u00e9rations propres \u00e0 cette logique des classes et \u00e0 celle des relations asym\u00e9triques formalis\u00e9e par Russell, Whitehead et d\u2019autres logiciens math\u00e9maticiens, op\u00e9rations qui interviennent \u00e0 c\u00f4t\u00e9 d\u2019autres, plus abstraites, dans la r\u00e9solution de ces probl\u00e8mes. Les faits recueillis par Piaget et ses coll\u00e8gues au moyen de la troisi\u00e8me des m\u00e9thode d\u2019entretien clinique vont en effet r\u00e9v\u00e9ler que l\u2019enfant n\u2019a pas besoin d\u2019attendre 9-10 ans ou 10-11 ans (voir Piaget, 1924, p. 93) pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes de logique des classes ou de logique des relations asym\u00e9triques; il pourra les r\u00e9soudre deux ou trois ann\u00e9es plus t\u00f4t pour autant qu\u2019il puisse juger et raisonner en s\u2019appuyant sur du mat\u00e9riel concret (ou en certains cas sur des images le repr\u00e9sentant fid\u00e8lement et qui puissent \u00eatre elles-m\u00eames manipul\u00e9es en lieu et place des objets repr\u00e9sent\u00e9s).<\/p>\n

* * * * *<\/p>\n

II. Le d\u00e9veloppement de la logique des classes<\/h3>\n

Afin d\u2019illustrer le d\u00e9veloppement des op\u00e9rations li\u00e9es \u00e0 la logique des classes chez l\u2019enfant, nous allons examiner la progression des r\u00e9ponses des enfants \u00e0 deux types de probl\u00e8mes cr\u00e9\u00e9s par Piaget et ses coll\u00e8gues. Le premier type concerne l\u2019activit\u00e9 de rangement d\u2019objets de toute nature commun\u00e9ment \u00e0 l\u2019\u0153uvre dans la vie de tous les jours. R\u00e9ussir \u00e0 r\u00e9unir et donc \u00e0 classer pratiquement des objets n\u2019implique cependant pas encore la pleine acquisition de l\u2019op\u00e9ration de base la plus commune de cette logique des classes: \u00e0 savoir l\u2019addition logique, en d\u2019autres termes l\u2019inclusion de classes et, puisqu\u2019il s\u2019agit d\u2019addition, la quantification qui l\u2019accompagne, c\u2019est-\u00e0-dire le fait de savoir qu\u2019une classe logique contient n\u00e9cessairement plus d\u2019\u00e9l\u00e9ments que n\u2019importe laquelle de ses sous-classes, sauf cas tout \u00e0 fait exceptionnel tel qu\u2019on pourrait le rencontrer sur le terrain de la classification naturelle des esp\u00e8ces.\u00a0<\/a>[7]<\/a> C\u2019est pour \u00e9tudier le d\u00e9veloppement de l\u2019addition logique qu\u2019un second type de probl\u00e8me a donc \u00e9t\u00e9 con\u00e7u qui, lui, porte explicitement sur la quantification logique li\u00e9e \u00e0 la ma\u00eetrise de cette op\u00e9ration et donc de l\u2019inclusion logique. Le premier type de probl\u00e8me pouvant \u00eatre r\u00e9solu sans recourir \u00e0 des op\u00e9rations logiques pleinement acquises, mais de mani\u00e8re empirique, nous ne ferons que le pr\u00e9senter succinctement, le seul int\u00e9r\u00eat de cette pr\u00e9sentation \u00e9tant de d\u00e9crire des types diff\u00e9rents d\u2019activit\u00e9 de rangement d\u2019objets qui s\u2019\u00e9chelonnent entre 2-3 ans et 6 ans environ.<\/p>\n

Probl\u00e8me I: la classification d\u2019objets de formes, de grandeurs et de couleurs diff\u00e9rentes<\/h4>\n

Dans ce premier type de probl\u00e8me de classification, on montre \u00e0 l\u2019enfant toute une s\u00e9rie h\u00e9t\u00e9roclite d\u2019objets plac\u00e9s devant lui en lui demandant de \u00ab\u00a0mettre ensemble ce qui va ensemble\u00a0\u00bb, ou de \u00ab\u00a0mettre ensemble les choses qui vont bien ensemble\u00a0\u00bb.<\/a>[8]<\/a> Comme les crit\u00e8res sur lesquels l\u2019enfant peut s\u2019appuyer peuvent \u00eatre tr\u00e8s nombreux et consister non pas seulement sur de multiples crit\u00e8res de ressemblance entre objets (par exemple ranger des animaux avec d\u2019autres animaux, ou ranger des objets en fonction de leurs formes g\u00e9om\u00e9triques, de grandeurs clairement diff\u00e9renci\u00e9es \u2014petit, moyen, grand\u2014, de couleurs \u00e9galement clairement distinctes les unes des autres \u2014rouge, vert, bleu, etc.\u2014) mais sur des crit\u00e8res tout aussi multiples de convenance (par exemple, mettre ensemble une ferme et des animaux que l\u2019on peut g\u00e9n\u00e9ralement y trouver), on peut demander \u00e0 l\u2019enfant de ranger les objets qui vont bien ensemble dans deux ou trois bo\u00eetes que l\u2019on place devant lui. Confront\u00e9s \u00e0 ce genre de probl\u00e8me, les enfants pr\u00e9sentent trois types successifs de r\u00e9ponse. \u00c0 un premier niveau, vers l\u2019\u00e2ge de 3 ans environ, lorsqu\u2019il s\u2019agit sans autres de \u00ab\u00a0mettre ensemble les objets qui sont pareils\u00a0\u00bb, ou \u00ab\u00a0les m\u00eames\u00a0\u00bb, etc., les enfants font intervenir p\u00eale-m\u00eale les crit\u00e8res de ressemblance et de convenance. Confront\u00e9s \u00e0 une situation o\u00f9 on leur pr\u00e9sente des formes g\u00e9om\u00e9triques de grandeurs et de couleurs diff\u00e9rentes, ils pourront par exemple les rassembler en formes de contours rectilignes d\u2019un c\u00f4t\u00e9, en formes de contours curvilignes de l\u2019autre, etc., mais de mani\u00e8re \u00e0 ce que chaque collection pr\u00e9sente en outre une forme particuli\u00e8re (par exemple une maison pour les objets de formes rectilignes).<\/p>\n

Lors d\u2019une deuxi\u00e8me \u00e9tape, vers 5-6 ans, on voit dispara\u00eetre l\u2019utilisation des crit\u00e8res de convenance. L\u2019enfant s\u2019efforce de construire des collections selon les seuls crit\u00e8res de ressemblance et de diff\u00e9rence (une ferme sera rang\u00e9e avec d\u2019autres b\u00e2timents, les animaux de ferme avec d\u2019autres animaux, etc.), mais il peut sans raison apparente changer de crit\u00e8res de ressemblance au cours de son activit\u00e9 de rangement, passant par exemple, pour les objets de formes, de grandeurs ou de couleurs diff\u00e9rentes, d\u2019un crit\u00e8re de forme \u00e0 un crit\u00e8re de couleur ou de grandeur. Les enfants les plus avanc\u00e9s de ce niveau peuvent aussi construire des sous-collections d\u2019objets \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un ensemble d\u2019objets jug\u00e9s aller ensemble. Ainsi, un enfant ayant pos\u00e9s des formes rondes d\u2019un c\u00f4t\u00e9 et des formes carr\u00e9es de l\u2019autre pourra \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de chacun de ces deux groupes s\u00e9parer les formes carr\u00e9es en sous-groupes selon leur couleur, ou bien selon leur grandeur. Ces enfants se rapprochent alors des conduites de classification telles qu\u2019on peut les observer lors de la troisi\u00e8me \u00e9tape lors de laquelle collection et sous-collections seront construites selon un ordre pr\u00e9cis et constant dans le choix des crit\u00e8res (par exemple, la forme, puis la grandeur, puis la couleur). Cependant, si on pose aux enfants du deuxi\u00e8me niveau des probl\u00e8mes de quantification quant aux collections et sous-collections qu\u2019ils ont construites (par exemple \u00e0 la question de savoir s\u2019il y a plus, moins ou la m\u00eame chose de carr\u00e9s rouges que de carr\u00e9s, ils se r\u00e9v\u00e8lent incapables de concevoir la relation d\u2019inclusion qu\u2019implique l\u2019op\u00e9ration d\u2019addition logique et qui seule permet de r\u00e9pondre correctement). Le troisi\u00e8me niveau \u00e9tant celui d\u2019une juste compr\u00e9hension de la relation d\u2019inclusion, il convient de consid\u00e9rer le deuxi\u00e8me type de probl\u00e8mes et les r\u00e9ponses que les enfants leur apportent pour saisir comment, \u00e0 ce niveau, le sujet parvient \u00e0 r\u00e9soudre logiquement, c\u2019est-\u00e0-dire op\u00e9ratoirement et d\u00e9ductivement \u2014et non pas, comme chez certains enfants les plus avanc\u00e9s du deuxi\u00e8me niveau, de mani\u00e8re opportuniste et en manifestant un malaise intellectuel (on en verra un exemple)\u2014 les probl\u00e8mes de classification logique, et du coup \u00e0 formuler des jugements logiquement fond\u00e9s face aux questions de quantification logique qu\u2019on lui soumet.<\/p>\n

Probl\u00e8me II: l\u2019inclusion des classes et la quantification logique<\/h4>\n

Pour illustrer les comportements des enfants confront\u00e9s \u00e0 ce deuxi\u00e8me type de probl\u00e8me de logique qui ciblent directement le d\u00e9veloppement de la quantification logique des classes, nous allons pr\u00e9senter les comportements des enfants face \u00e0 deux situations utilis\u00e9es par Piaget et Szeminska dans leur recherche sur la gen\u00e8se du nombre dans ses rapports avec celle de la logique des classes et des relations (GdN<\/em>, chap. II)\u00a0<\/a>[9]<\/a>.<\/p>\n

1\u00e8re<\/sup> illustration: le probl\u00e8me des perles. <\/em><\/p>\n

Le probl\u00e8me pos\u00e9 \u00e0 des enfants de 4 \u00e0 10 ans est le suivant. On montre au sujet une bo\u00eete ouverte dans laquelle se trouve une vingtaine de perles en bois, dont 16 ou 17 brunes et les autres blanches. Apr\u00e8s lui avoir fait constater que toutes les perles sont en bois, on pose alors au sujet la question standard suivante\u00a0<\/a>[10]<\/a> : \u00ab\u00a0est-ce que, dans cette bo\u00eete, il y a plus de perles brunes, plus de perles en bois ou la m\u00eame chose\u00a0?\u00a0\u00bb (l\u2019ordre de pr\u00e9sentation entre les trois choix de r\u00e9ponses possibles peut bien s\u00fbr varier). La r\u00e9ponse tout aussi standard des enfants les plus jeunes est alors \u00ab\u00a0il y a plus de perles brunes\u00a0\u00bb\u00a0! On verra tout \u00e0 l\u2019heure l\u2019interpr\u00e9tation que donne Piaget de cette erreur absolument g\u00e9n\u00e9rale chez les enfants les plus jeunes (sauf bien s\u00fbr si un adulte leur a appris \u00e0 r\u00e9pondre correctement, mais il suffira de modifier un peu l\u2019\u00e9preuve pour qu\u2019un enfant drill\u00e9 \u00e0 r\u00e9pondre correctement fournisse une r\u00e9ponse standard, c\u2019est-\u00e0-dire erron\u00e9e, mais plus conforme \u00e0 ses propres capacit\u00e9s\u00a0<\/a>[11]<\/a>). Notons \u00e9galement que ce m\u00eame probl\u00e8me pos\u00e9 \u00e0 des enfants en moyenne un peu plus \u00e2g\u00e9s se verra imm\u00e9diatement r\u00e9solu de mani\u00e8re tout \u00e0 fait correcte, avec une justification sans faille consistant \u00e0 affirmer qu\u2019il y a plus de perles en bois puisque parmi celles-ci il y a non seulement des brunes mais \u00e9galement des blanches (autrement dit, en termes de calcul des classes, que B, la collection des perles en bois, contient plus d\u2019\u00e9l\u00e9ments que la collection A des perles brunes, puisque B = A+A\u2019, avec A\u2019 d\u00e9signant les \u00e9l\u00e9ments de B qui ne sont pas inclus dans la collection A).<\/p>\n

Des questions compl\u00e9mentaires sont ensuite pos\u00e9es aux enfants qui jugent qu\u2019il y plus de perles brunes que de perles en bois pour s\u2019assurer que c\u2019est bien l\u00e0 ce qu\u2019ils pensent. Le psychologue commence par poser la question suivante: \u00ab\u00a0si un enfant d\u00e9cide de prendre toutes les perles brunes pour en fait un collier, alors qu\u2019un autre enfant d\u00e9cide de prendre toutes les perles en bois, est-ce que l\u2019un des deux aura un plus long collier, ou bien les colliers auront-ils la m\u00eame longueur\u00a0?\u00a0\u00bb. Voil\u00e0 la r\u00e9ponse donn\u00e9e par un enfant de 6 ans 8 mois \u00e0 cette nouvelle question, r\u00e9ponse qui est coh\u00e9rente avec son affirmation pr\u00e9c\u00e9dente: le plus grand collier est celui fait avec les perles brunes. Le psychologue demande alors \u00e0 cet enfant de dessiner les deux colliers, le premier dessin repr\u00e9sentant le collier avec toutes les perles en bois, le deuxi\u00e8me dessin toutes les perles brunes. Une fois les deux dessins correctement r\u00e9alis\u00e9s (le premier dessin \u00ab\u00a0contenant\u00a0\u00bb donc correctement toutes les brunes et toutes les blanches, et le deuxi\u00e8me toutes les brunes), le psychologue demande alors \u00e0 nouveau au sujet lequel des deux colliers sera le plus long, celui qui contient toutes les perles en bois, ou celui contenant toutes les brunes. Chez cet enfant de 6 ans et 8 mois, la coh\u00e9rence est maintenue: le collier des perles brunes est toujours jug\u00e9 \u00eatre le plus long. Cette coh\u00e9rence des r\u00e9ponses est caract\u00e9ristique du premier stade: les enfants de ce niveau ne changent pas leur r\u00e9ponse, quand bien m\u00eame ils savent tous que les perles blanches sont aussi des perles en bois et que le collier des perles en bois est compos\u00e9 des perles brunes et des perles blanches.<\/p>\n

Le m\u00eame probl\u00e8me peut \u00eatre pos\u00e9 sous des formes l\u00e9g\u00e8rement diff\u00e9rentes \u00e0 d\u2019autres enfants (ces variations sont expos\u00e9es dans l\u2019ouvrage sur La gen\u00e8se du nombre<\/em> mentionn\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment). Quelle que soit la forme sous laquelle il l’est, \u00e0 chaque fois on retrouve la m\u00eame incapacit\u00e9 des enfants du premier stade \u00e0 comparer les quantit\u00e9s respectives d\u2019\u00e9l\u00e9ments d\u2019une classe et de l\u2019une de ses sous-classes.<\/p>\n

A titre illustratif, prenons un deuxi\u00e8me exemple de comportement de ce premier stade, cette fois observ\u00e9 chez un enfant de 7 ans et 3 mois, donc un peu plus \u00e2g\u00e9 et qui lui aussi affirme, en r\u00e9ponse \u00e0 la question standard, qu\u2019il y a plus de perles brunes que de perles en bois. A la suite de cette r\u00e9ponse, le psychologue dessine les perles brunes et les perles blanches sur une feuille puis demande \u00e0 l\u2019enfant de tracer au crayon un cercle autour des brunes. L\u2019enfant le fait sans difficult\u00e9. Le psychologue lui demande ensuite de tracer un cercle autour des perles en bois. Cet enfant trace alors un cercle autour des seules perles blanches, comme si le fait d\u2019avoir trac\u00e9 un cercle autour des brunes excluait de pouvoir les inclure dans l\u2019ensemble des perles en bois\u00a0! Le psychologue demande alors innocemment \u00e0 cet enfant si les perles brunes ne sont pas elles aussi en bois. Le sujet l\u2019admet sans difficult\u00e9. Il efface alors le cercle trac\u00e9 autour des seules perles blanches et trace un cercle autour des toutes les perles en bois. Vient alors \u00e0 nouveau la question standard de savoir s\u2019il y a plus, moins ou la m\u00eame chose de perles en bois ou de perles brunes. Cet enfant de 7 ans et 3 mois n\u2019en continue pas moins \u00e0 affirmer qu\u2019il y a plus de perles en bois que de brunes, alors m\u00eame que, sous ses yeux, le cercle autour des perles en bois inclut le cercle des perles brunes\u00a0! Chez d\u2019autres enfants de cet \u00e2ge ou un peu plus \u00e2g\u00e9, de telles questions compl\u00e9mentaires \u00e0 celle de d\u00e9part peuvent finir par les \u00e9branler dans leur jugement. Ils peuvent alors osciller entre une r\u00e9ponse correcte et leur r\u00e9ponse initiale, ou formuler non sans h\u00e9sitation un jugement d\u00e9finitivement correct mais non logiquement justifi\u00e9, ce qui r\u00e9v\u00e8le une progression de leur pens\u00e9e logique, l\u2019acc\u00e8s \u00e0 un stade interm\u00e9diaire de d\u00e9veloppement, l\u2019incertitude qu\u2019ils conservent montrant toutefois que l\u2019op\u00e9ration d\u2019addition de classe n\u2019est pas compl\u00e8tement acquise chez eux.<\/p>\n

Pour cerner de plus pr\u00e8s ce qu\u2019implique la ma\u00eetrise compl\u00e8te de l\u2019op\u00e9ration de base de la logique des classes chez les enfants, examinons la progression des r\u00e9ponses des enfants confront\u00e9s \u00e0 un probl\u00e8me similaire, mais portant cette fois sur la classification des fleurs, classification plus naturelle que refl\u00e8te la langage (par les noms diff\u00e9rents donn\u00e9s \u00e0 diff\u00e9rentes esp\u00e8ces florales).<\/p>\n

2eme<\/sup> illustration: l\u2019inclusion des fleurs. <\/em><\/p>\n

Dans cet autre probl\u00e8me, un enfant a devant lui un dessin repr\u00e9sentant un pr\u00e9 avec des fleurs, soit une vingtaine de coquelicots et 3 bleuets (dans un des exemples que nous exposerons, ce mat\u00e9riel sera remplac\u00e9 par un bouquet de fleurs en plastique, des roses et des \u0153illets). On commence par demander \u00e0 l\u2019enfant de d\u00e9crire ce qu\u2019il voit et qu\u2019il reconna\u00eet sans difficult\u00e9 \u00eatre des fleurs. On lui apprend \u00e9ventuellement que les rouges sont des coquelicots, les bleus des bleuets, puis on lui pose la question standard suivante: \u00ab\u00a0dans ce pr\u00e9, si on veut faire un tr\u00e8s gros bouquet de fleurs, est-ce qu\u2019il faut cueillir toutes les fleurs ou tous les coquelicots\u00a0?\u00a0\u00bb. Les r\u00e9ponses des enfants peuvent \u00eatre class\u00e9es en trois stades selon qu\u2019ils affirment sans h\u00e9sitation qu\u2019il faut cueillir tous les coquelicots, ou alors qu\u2019apr\u00e8s avoir donn\u00e9 cette r\u00e9ponse erron\u00e9e, ils en viennent \u00e0 formuler la r\u00e9ponse correcte, ou enfin que d\u2019embl\u00e9e ils affirment, avec justification \u00e0 l\u2019appui, que, n\u00e9cessairement, le bouquet compos\u00e9 avec toutes les fleurs est plus grand que celui compos\u00e9 avec tous les coquelicots.<\/p>\n

Voyons des exemples de ces trois \u00e9tapes, et d\u2019abord la premi\u00e8re illustr\u00e9e par les r\u00e9ponses d\u2019une fillette de 5 ans (GdN<\/em>, p. 213). Apr\u00e8s qu\u2019il se soit assur\u00e9 qu\u2019elle reconna\u00eet les esp\u00e8ces de fleurs pr\u00e9sent\u00e9es, l\u2019exp\u00e9rimentateur lui pose la question de savoir si, pour faire le plus gros bouquet, il faut prendre toutes les fleurs ou tous les coquelicots. \u00ab\u00a0Les coquelicots\u00a0\u00bb, r\u00e9pond-elle. L\u2019exp\u00e9rimentateur lui demande alors de montrer les coquelicots, ce qu\u2019elle fait correctement, puis de montrer toutes les fleurs. Elle r\u00e9pond l\u00e0 aussi correctement en faisant un geste circulaire autour de toutes les fleurs. On lui pose alors \u00e0 nouveau la question standard, en r\u00e9ponse \u00e0 laquelle elle s\u2019exclame: \u00ab\u00a0mais je te l\u2019ai d\u00e9j\u00e0 dit\u00a0\u00bb\u00a0!<\/p>\n

Le deuxi\u00e8me exemple illustre le comportement du deuxi\u00e8me stade d\u2019une fillette de 6-7 ans, Anouchka, (nous n\u2019avons pas d\u2019indication sur son \u00e2ge exact) interrog\u00e9e par G\u00e9rald N\u0153lting, collaborateur de B\u00e4rbel Inhelder, dans le cadre des recherches longitudinales sur le d\u00e9veloppement de la pens\u00e9e logique chez l\u2019enfant.<\/a>[12]<\/a> Dans ce cas, les coquelicots et les bleuets dessin\u00e9s sur une feuille sont remplac\u00e9s par 5 roses et 2 \u0153illets en plastique. L\u2019exp\u00e9rimentateur commence par demander \u00e0 l\u2019enfant de montrer les roses dans le bouquet. Elle les montre une \u00e0 une. Apr\u00e8s qu\u2019elle a \u00e9galement montr\u00e9 les deux \u0153illets (dont elle apprend alors le nom), l\u2019exp\u00e9rimentateur lui demande de montrer toutes les fleurs du bouquet. Apr\u00e8s une petite h\u00e9sitation, elle montre toutes les fleurs une \u00e0 une. Ensuite, on lui pose la question standard de savoir s\u2019il y a plus de fleurs ou plus de roses. Ce \u00e0 quoi elle commence par r\u00e9pondre imm\u00e9diatement, donc sans trop r\u00e9fl\u00e9chir: \u00ab\u00a0il y en a autant\u00a0\u00bb (en n\u00e9gligeant donc la pr\u00e9sence des \u0153illets), en esquissant spontan\u00e9ment une justification \u00ab\u00a0oui, parce que\u2026\u00a0\u00bb qu\u2019elle interrompt soudainement pour affirmer: \u00ab\u00a0non, il y a plus de roses\u00a0!\u00a0\u00bb. \u00ab\u00a0Explique-moi \u2014lui demande l\u2019adulte\u2014 il y a plus de roses que de quoi\u00a0?\u00a0\u00bb \u00ab\u00a0Que de\u2026 que d\u2019\u0153illets\u00a0\u00bb, r\u00e9pond-elle un brin embarrass\u00e9e. \u00ab\u00a0Oui \u2014confirme le psychologue\u2014 il y a plus de roses que d\u2019\u0153illets\u00a0! Mais ce que moi je te demande, c\u2019est s\u2019il y a plus de roses ou plus de fleurs\u00a0!\u00a0\u00bb. \u00ab\u00a0Mais les fleurs, c\u2019est les \u0153illets\u00a0\u00bb, riposte-t-elle, toujours un peu embarrass\u00e9e, \u00e0 quoi elle ajoute, apr\u00e8s un petit temps d\u2019arr\u00eat: \u00ab\u00a0et puis les roses aussi\u00a0\u00bb. \u00ab\u00a0C\u2019est \u00e7a\u00a0\u00bb, dit l\u2019adulte, en se tournant vers l\u2019enfant pour relancer la question: \u00ab\u00a0alors, finalement, qu\u2019est-ce que tu crois\u00a0?\u00a0\u00bb (qu\u2019il ne compl\u00e8te pas, jugeant que l\u2019enfant a encore en t\u00eate la question standard qu\u2019il vient de lui rappeler). R\u00e9ponse d\u2019Anouchka: \u00ab\u00a0Il y a plus de roses, parce que\u2026\u00a0\u00bb (elle ne parvient pas \u00e0 compl\u00e9ter sa justification). Apr\u00e8s une petite pause, l\u2019entretien red\u00e9marre au point de d\u00e9part, avec une petite modification de la question standard (aide involontairement donn\u00e9e \u00e0 l\u2019enfant avec l\u2019usage de la notion de comptage): \u00ab\u00a0Dans ce bouquet, si je compte<\/em> toutes les fleurs et si je compte<\/em> toutes les roses, est-ce qu\u2019il y a plus de fleurs ou plus de roses\u00a0?\u00a0\u00bb. Anouchka devient manifestement perplexe. Elle se tourne vers l\u2019adulte pour lui demander, sous une forme mi-affirmative, mi-interrogative et tout en passant sa main sur la totalit\u00e9 du bouquet: \u00ab\u00a0Mais les fleurs, c\u2019est \u00e7a\u00a0!\u00a0?\u00a0\u00bb. Apr\u00e8s confirmation, Anouchka et l\u2019adulte se mettent \u00e0 nouveau d\u2019accord, comme au d\u00e9but de l\u2019entretien, pour dire qu\u2019une partie des fleurs sont des \u0153illets, qu\u2019une autre ce sont des roses, et que tout le bouquet, \u00ab\u00a0ce sont des fleurs, des \u0153illets et des roses\u00a0\u00bb, pr\u00e9cise l\u2019enfant. L\u2019exp\u00e9rimentateur reconna\u00eet que le probl\u00e8me qu\u2019il pose n\u2019est pas facile, qu\u2019il fait r\u00e9fl\u00e9chir. Il demande \u00e0 nouveau \u00e0 Anouchka: \u00ab\u00a0finalement, il y a plus de fleurs ou plus de roses\u00a0\u00bb. Anouchka manifeste une certaine irritation en r\u00e9pondant: \u00ab\u00a0mais pourquoi tu les appelles des fleurs\u00a0? ce sont des \u0153illets\u00a0!\u00a0\u00bb. Sa r\u00e9ponse indique que pour elle il n\u2019est pas possible de comparer la quantit\u00e9 de fleurs et la quantit\u00e9 d\u2019\u0153illets. L\u2019exp\u00e9rimentateur confirme que les deux fleurs que la fillette pointe du doigt sont en effet des \u0153illets et qu\u2019en effet il y a plus de roses que d\u2019\u0153illets, mais la question est de savoir s\u2019il y a plus de roses ou plus de fleurs. Le probl\u00e8me para\u00eet un instant insoluble et la fillette oscille dans son effort de comprendre ce que sont les fleurs: \u00ab\u00a0Mais les fleurs c\u2019est\u2026 c\u2019est tout \u00e7a\u00a0\u00bb, dit-elle \u00e0 nouveau en passant sa main sur tout le bouquet, et en ajoutant: \u00ab\u00a0il y en a autant\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0parce que \u00e7a aussi c\u2019est des fleurs\u00a0\u00bb (les deux \u0153illets). Finalement, une autre perche tendue par l\u2019adulte va permettre \u00e0 l\u2019enfant de trouver une solution \u00e0 ce probl\u00e8me qui l\u2019embarrasse. Il lui demande: \u00ab\u00a0si par exemple je voulais donner \u00e0 ta maman toutes les fleurs, ou plut\u00f4t, non, je vais lui donner qu\u2019un bouquet de roses\u00a0\u00bb, quel bouquet serait le plus grand. Anouchka r\u00e9fl\u00e9chit un moment, et lorsque l\u2019adulte lui repose la question: \u00ab\u00a0quel serait le bouquet le plus grand, le bouquet des fleurs ou le bouquet des roses\u00a0\u00bb, elle r\u00e9pond: \u00ab\u00a0le bouquet de fleurs, de tout \u00e7a\u00a0\u00bb (elle passe sa main sur toutes les fleurs). Et sa r\u00e9ponse \u00e0 la question \u00ab\u00a0pourquoi serait-il plus grand\u00a0\u00bb confirme dans une certaine mesure l\u2019affirmation selon laquelle le bouquet de fleurs est plus grand: \u00ab\u00a0parce que si on en enl\u00e8ve 2, il en restera 3, il ne peut pas en rester 5\u00a0\u00bb. L\u2019entretien se termine par la reconnaissance, chez Anouchka, que le bouquet le plus grand, \u00ab\u00a0c\u2019est celui des fleurs\u00a0\u00bb, sans que l\u2019on sache trop si \u00e0 ce moment Anouchka a en vue la totalit\u00e9 du bouquet (ce que sugg\u00e8re son geste couvrant l\u2019ensemble des fleurs) ou seulement la partie compos\u00e9e des roses (ce que sugg\u00e8re partiellement sa justification arithm\u00e9tique dans laquelle il est question d\u2019enlever 2 fleurs \u00e0 5 fleurs=roses et non pas \u00e0 7 fleurs).<\/p>\n

Ce qui pr\u00e9c\u00e8de est une claire manifestation du deuxi\u00e8me stade, dans lequel Anouchka se confronte au probl\u00e8me de comparaison entre les extensions d\u2019une classe et de l\u2019une de ses sous-classes. Si elle parvient finalement \u00e0 r\u00e9pondre correctement \u00e0 un tel probl\u00e8me, c\u2019est de mani\u00e8re encore toute intuitive, en prenant appui sur deux intuitions emprunt\u00e9es l\u2019une \u00e0 l\u2019espace (la grandeur compar\u00e9e du bouquet total et de l\u2019une de ses parties) l\u2019autre \u00e0 un d\u00e9but d\u2019arithm\u00e9tisation du probl\u00e8me. Concernant ce deuxi\u00e8me appui, elle sait certes que si on enl\u00e8ve des \u00e9l\u00e9ments \u00e0 une collection compos\u00e9e d\u2019un petit nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ment, ce qui restera sera un moins grand nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments, mais l\u2019usage de l\u2019arithm\u00e9tique qu\u2019elle fait ici pour r\u00e9pondre \u00e0 un probl\u00e8me de quantification logique reste lui-m\u00eame intuitif et probl\u00e9matique, et de plus elle r\u00e9duit de nombre de fleurs du bouquet au nombre de roses.<\/p>\n

Quant aux r\u00e9ponses des enfants du troisi\u00e8me stade (qui ont en moyenne 9-10 ans), elles ne pr\u00eatent plus \u00e0 aucune \u00e9quivoque. Un enfant de ce stade affirmera sans h\u00e9siter qu\u2019il y a n\u00e9cessairement plus de fleurs dans le bouquet de fleurs compos\u00e9 de coquelicots et de bleuets que dans le bouquet compos\u00e9 des coquelicots. Il reste \u00e0 savoir pourquoi ce qui s\u2019impose avec \u00e9vidence au troisi\u00e8me stade pose probl\u00e8me au deuxi\u00e8me stade et n\u2019est m\u00eame pas envisageable au premier stade.<\/p>\n

La quantification logique et la construction de l\u2019op\u00e9ration additive des classes<\/em><\/p>\n

Pour Piaget, la r\u00e9ponse \u00e0 la question pr\u00e9c\u00e9dente tient dans la capacit\u00e9 qu\u2019ont les enfants du 3e<\/sup> stade de pouvoir penser simultan\u00e9ment<\/em> \u00e0 une partie incluse dans un tout et \u00e0 ce tout en tant qu\u2019incluant cette partie, et un tel pouvoir est la cons\u00e9quence directe de la construction et de la ma\u00eetrise de l\u2019op\u00e9ration d\u2019inclusion ou d\u2019addition logique. Avant ce stade, l\u2019enfant ne parvient pas ou (voir le cas d\u2019Anouchka) seulement avec beaucoup de peine et en prenant appui sur des indices non-logiques (la fronti\u00e8re du bouquet de fleurs, ou bien une corde entourant la classe totale des perles en bois versus une corde entourant l\u2019une de ses sous-classes) \u00e0 concevoir simultan\u00e9ment la classe totale avec ses deux sous-classes, ainsi que l\u2019une ou l\u2019autre des deux sous-classes.<\/p>\n

D\u2019un c\u00f4t\u00e9, si l\u2019enfant se centre sur une sous-classe A et qu\u2019on lui demande de concevoir simultan\u00e9ment la classe totale B (compos\u00e9e de A et des \u00e9l\u00e9ments de B qui ne sont pas des A), il r\u00e9duira syst\u00e9matiquement celle-ci \u00e0 la partie compl\u00e9mentaire A\u2019 de cette sous-classe (les bleuets, si la sous-classe mentionn\u00e9e est celle des coquelicots). Avec une telle r\u00e9duction de la classe totale B \u00e0 la compl\u00e9mentaire A\u2019 de A, la difficult\u00e9 dispara\u00eet lorsque les collections compar\u00e9e contiennent un nombre pas trop \u00e9lev\u00e9 d\u2019\u00e9l\u00e9ments: un enfant de 4 \u00e0 6 ans sait comparer les num\u00e9rosit\u00e9s perceptives respectives de deux petites collections d\u2019objets (ce qui ne veut pas dire qu\u2019il ma\u00eetrise la notion de nombre, comme on le verra dans le prochain cours). Comme dans le cas d\u2019Anouchka, il voit bien que telle esp\u00e8ce de fleurs est plus nombreuse que telle autre esp\u00e8ce appartenant au m\u00eame bouquet de fleurs.<\/p>\n

Et d\u2019un autre c\u00f4t\u00e9, si on l\u2019incite \u00e0 penser \u00e0 la classe totale B, il parviendra certes \u00e0 r\u00e9soudre des questions qui ne concernent que le tout (par exemple lorsqu\u2019on lui demande de faire un cercle autour de toutes les fleurs); mais aussit\u00f4t qu\u2019on lui demande de comparer quantitativement ce tout avec l\u2019une de ses parties A, il lui sera impossible de s\u00e9parer en pens\u00e9e cette partie de ce tout sans du m\u00eame coup ne plus pouvoir penser le tout\u00a0!<\/p>\n

\u00c0 une certaine \u00e9tape de progression de ses capacit\u00e9s cognitives cependant, il cherchera, comme Anouchka, \u00e0 penser \u00e0 la fois au tout et \u00e0 l\u2019une de ses parties, mais ses r\u00e9ponses oscilleront entre une r\u00e9ponse ou une autre (l\u2019une r\u00e9duisant le tout B \u00e0 une de ses deux parties, soit A\u2019, pour comparer sa num\u00e9rosit\u00e9 \u00e0 celle de A, l\u2019autre en comparant sans le r\u00e9duire, ce m\u00eame tout B \u00e0 sa partie A, mais alors en s\u2019appuyant sur des indices spatiaux), en marquant un embarras d\u2019autant plus grand que la conscience du probl\u00e8me s\u2019accro\u00eet.<\/p>\n

Enfin viendra le moment o\u00f9 il comprendra d\u2019embl\u00e9e que le tout n\u2019est rien d\u2019autre que la somme de ses parties, que chacune des parties n\u2019est rien d\u2019autre que le m\u00eame tout, mais soustrait de toutes les autres parties qui ensemble composent la compl\u00e9\u00admentaire de cette partie relativement \u00e0 la totalit\u00e9 des \u00e9l\u00e9ments en jeu, et du coup, une question dans laquelle on lui demande comparer un tout \u00e0 l\u2019une de ses parties ne lui pose plus aucun probl\u00e8me, la solution s\u2019imposant \u00e0 ses yeux avec la plus grande \u00e9vidence (si B = A1<\/sub>+A2<\/sub>, alors B est n\u00e9cessairement quantitativement plus grand aussi bien de A1<\/sub> que de A2<\/sub>, pour autant bien s\u00fbr que ni A1<\/sub> et ni A2<\/sub> ne soient pas des collections vides).<\/a>[13]<\/a><\/p>\n

Par la suite, l\u2019explication livr\u00e9e par Piaget trouvera certes des contradicteurs. Certains affirmeront que tout est affaire d\u2019attention ou d\u2019extension du champ d\u2019attention. Mais Piaget avait d\u00e9j\u00e0 not\u00e9 en 1922, \u00e0 l\u2019occasion de ses premi\u00e8res recherches sur la pens\u00e9e logique des enfants, que ce type d\u2019explication n\u2019est pas satisfaisant: un enfant peut bien penser \u00e0 deux choses \u00e0 la fois, par exemple aux quantit\u00e9s respectives d\u2019\u00e9l\u00e9ments de deux sous-classes, sans que pour autant il parvienne \u00e0 penser simultan\u00e9ment aux quantit\u00e9s respectives d\u2019\u00e9l\u00e9ments d\u2019une totalit\u00e9 et de l\u2019une de ses sous-classes. Ce n\u2019est pas un probl\u00e8me d\u2019attention qui est en jeu, mais un probl\u00e8me de conception des classes logiques d\u00e9coulant de l\u2019absence de construction des op\u00e9rations additives de classe n\u00e9cessaires \u00e0 la mise en relation des quantit\u00e9s respectives des \u00e9l\u00e9ments d\u2019une classe et de l\u2019une de ses sous-classes.<\/p>\n

D\u2019autres contradicteurs \u00e9voqueront un probl\u00e8me d\u2019apprentissage du langage (du fran\u00e7ais par exemple): les jeunes enfants ne comprennent pas qu\u2019on puisse leur demander de comparer quantitativement une classe \u00e0 sa sous-classe (voir la r\u00e9action d\u2019Anouchka, qui tend \u00e0 rejeter la question qu\u2019on lui pose). C\u2019est exact, mais cela n\u2019explique l\u00e0 aussi en rien pourquoi une question qui para\u00eet inconcevable \u00e0 un jeune enfant ne soul\u00e8ve plus aucun probl\u00e8me quelques mois ou quelques ann\u00e9es plus tard, voire, comme chez Anouchka, au cours m\u00eame d\u2019un entretien de \u00ab\u00a0ma\u00efeutique constructiviste\u00a0\u00bb, sinon parce que ses notions de tous et de quelques, de classes et de sous-classes ont progress\u00e9 de mani\u00e8re \u00e0 rendre possible et m\u00eame \u00e9vident ce qui \u00e9tait auparavant rejet\u00e9 (question y comprise).<\/p>\n

Avec l\u2019addition des classes logiques et son inverse, la soustraction logique, toutes deux compl\u00e9t\u00e9es par l\u2019op\u00e9ration de multiplication des classes qui permet par exemple \u00e0 un enfant de croiser deux classifications d\u2019une m\u00eame collection d\u2019objets pouvant \u00eatre de formes g\u00e9om\u00e9triques de diff\u00e9rentes esp\u00e8ces (carr\u00e9es, rondes, triangulaires, etc.) et de diff\u00e9rentes couleurs (rouges, bleues, vertes, etc.) et par son inverse, la division ou abstraction logique, qui permet de concevoir les formes carr\u00e9es abstraction faite de leur diff\u00e9rence de couleur, c\u2019est l\u2019un des deux aspects de la logique concr\u00e8te que parvient \u00e0 ma\u00eetriser l\u2019enfant entre 7 et 9 ans. Voyons maintenant ce qu\u2019il en est de la deuxi\u00e8me grande classe d\u2019op\u00e9rations logiques concr\u00e8tes \u00e9galement ma\u00eetris\u00e9e entre 7 et 9 ans environ, \u00e0 savoir celles qui concernent non plus la logique des classes, c\u2019est-\u00e0-dire les op\u00e9rations portant sur la r\u00e9union ou la s\u00e9paration d\u2019\u00e9l\u00e9ments selon telle ou telle de leur qualit\u00e9, mais celles des relations logiques asym\u00e9triques, qui concernent la mise en ordre croissant ou d\u00e9croissant d\u2019une collection d\u2019\u00e9l\u00e9ments selon telle ou telle de leur dimension, ou, en d’autres termes, non plus la classification logique, mais la s\u00e9riation logique.<\/p>\n

III. Le d\u00e9veloppement de la logique des relations asym\u00e9triques<\/h3>\n

A noter tout d\u2019abord que les relations logiques incluent non seulement les relations asym\u00e9triques, mais \u00e9galement les relations sym\u00e9triques, en particulier la relation d\u2019\u00e9quivalence ou d\u2019\u00e9galit\u00e9, qui est sous-jacente \u00e0 la logique des classes (ce qu\u2019indique d\u2019ailleurs le symbole \u00ab\u00a0=\u00a0\u00bb utilis\u00e9 dans le calcul des classes). Notons que certaines propri\u00e9t\u00e9s sont communes aux relations sym\u00e9triques et aux relations asym\u00e9triques, comme par exemple la transitivit\u00e9 logique <\/em>: apr\u00e8s avoir constat\u00e9 que a=b (c\u2019est-\u00e0-dire v\u00e9rifi\u00e9 que tous les \u00e9l\u00e9ments rouges d\u2019une collection sont grands et tous les grands de la m\u00eame collection sont rouges) et b=c (tous les \u00e9l\u00e9ments rouges de la m\u00eame collection sont carr\u00e9s et tous les carr\u00e9s rouges) l\u2019enfant qui a acquis les op\u00e9rations de la logique des classes et auquel on cache cette collection n\u2019en d\u00e9duira pas moins imm\u00e9diatement ou apr\u00e8s une br\u00e8ve r\u00e9flexion que, n\u00e9cessairement, il y a autant de grands que de carr\u00e9s, soit a=c. Il en va de m\u00eame en logique des relations asym\u00e9triques: de ce que a<b et b<c, un enfant qui ma\u00eetrise le calcul de ces relations d\u00e9duira imm\u00e9diatement et n\u00e9cessairement que a<c.<\/p>\n

Remarquons encore, pour poursuivre ce dernier exemple et comme le souligne Piaget, que ce n\u2019est pas parce qu\u2019un enfant de 2 ans ou de 3 ans peut reconna\u00eetre et affirmer que tel objet est plus lourd que tel autre (ou tel gar\u00e7on plus grand que lui-m\u00eame), qu\u2019il a construit et ma\u00eetrise l\u2019op\u00e9ration de s\u00e9riation logique et la notion de relation de grandeur. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, un enfant de cet \u00e2ge ne peut pas, apr\u00e8s avoir constat\u00e9 que A est plus lourd (ou plus grand) que B, puis que B est plus lourd (ou plus grand) que C en d\u00e9duire que A est plus lourd (ou plus grand) que C. \u00c0 la question de savoir lequel est le plus lourd ou le plus grand il r\u00e9pondra qu\u2019\u00a0\u00ab\u00a0on ne peut savoir \u00e0 l\u2019avance, qu\u2019il faut peser ou regarder pour le savoir\u00a0\u00bb. L\u2019int\u00e9r\u00eat des recherches r\u00e9alis\u00e9es par Piaget et Szeminska sur le d\u00e9veloppement de la s\u00e9riation logique et qui sont expos\u00e9es \u00e9galement dans un des chapitres (le 5e<\/sup>) de l\u2019ouvrage\u00a0sur La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/em> est de r\u00e9v\u00e9ler le cheminement que suit l\u2019enfant pour atteindre le niveau de comp\u00e9tence lui permettant de r\u00e9soudre un probl\u00e8me qui nous para\u00eet trivial, cheminement qui passe l\u00e0 aussi par la construction des op\u00e9rations additives et multiplicatives portant non plus sur des r\u00e9unions ou des s\u00e9parations, mais sur les diff\u00e9rences entre les \u00e9l\u00e9ments compar\u00e9s lors de leur mise en ordre.<\/p>\n

Enfin, derni\u00e8re remarque pr\u00e9alable, tout ceci peut para\u00eetre ne concerner qu\u2019une faible partie de l\u2019activit\u00e9 intellectuelle de l\u2019enfant. Mais une br\u00e8ve r\u00e9flexion permet de se d\u00e9prendre d\u2019une telle r\u00e9serve. De m\u00eame que les op\u00e9rations de classe interviennent constamment et inconsciemment dans la vie de l\u2019enfant en lui permettant \u00e0 l\u2019enfant de ranger les objets et \u00e9v\u00e9nements du monde selon leur similitude, et d\u2019embo\u00eeter les classes ainsi compos\u00e9es les unes dans les autres (les \u00e9v\u00e9nement sportifs avec les \u00e9v\u00e9nements sportifs, les \u00e9v\u00e9nements culturels avec les \u00e9v\u00e9nements culturels, etc.), de m\u00eame ne cessent-ils pas de s\u00e9rier les objets selon telle ou telle de leur dimension (ce qui trouve d\u2019ailleurs un \u00e9cho dans le langage, avec l\u2019usage fr\u00e9quent, mais pas toujours logique, des expressions telles que \u00ab\u00a0plus grand que\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0plus fort que\u00a0\u00bb, etc. En un mot, m\u00eame si on n\u2019en prend en g\u00e9n\u00e9ral que peu conscience, la logique des op\u00e9rations concr\u00e8tes ne cesse d\u2019intervenir dans nos activit\u00e9s communes et si chaque individu ne parvenait pas \u00e0 acqu\u00e9rir les op\u00e9rations qui la compose, les \u00e9changes avec le monde ext\u00e9rieur et avec nos pairs seraient hautement probl\u00e9matiques.<\/p>\n

Mais venons-en au fait en commen\u00e7ant par exposer les stades d\u2019acquisition de la s\u00e9riation logique ou de l\u2019addition des relations asym\u00e9triques avant d\u2019exposer les stades de la multiplication de ces m\u00eames relations.<\/p>\n

L\u2019addition des relations asym\u00e9triques<\/h4>\n
\"Figure<\/a>
Figure 1<\/figcaption><\/figure>\n

L\u2019\u00e9preuve standard permettant de r\u00e9v\u00e9ler l\u2019acquisition progressive de cette op\u00e9ration qui est au c\u0153ur de la logique des relations asym\u00e9triques porte sur la s\u00e9riation d\u2019une collection d\u2019une dizaine de baguettes dont chacune est de grandeur diff\u00e9rente. Apr\u00e8s avoir montr\u00e9 aux enfants individuellement interrog\u00e9s un dessin repr\u00e9sentant cette dizaine de baguettes donc chacune a successivement 10 cm de plus que l\u2019autre et qui sont dispos\u00e9es de mani\u00e8re \u00e0 former un escalier (voir la figure 1), on leur donne les dix baguettes bien r\u00e9elles en les priant de bien vouloir les ranger pour que cela fasse un escalier \u00ab\u00a0comme sur le dessin\u00a0\u00bb. Comme dans le cas du probl\u00e8me de l\u2019inclusion des fleurs, les r\u00e9ponses des enfants peuvent \u00eatre rang\u00e9es en trois stades.<\/p>\n

1er<\/sup> stade: le rangement des baguettes par couples ou triplets<\/h5>\n

Les enfants en moyenne les plus jeunes construisent des couples ou des triplets sans les coordonner entre eux et sans respecter la ligne de base, ce qui donnent des productions telles que celles-ci (\u00e0 noter que si l\u2019on demande aux enfants non pas de s\u00e9rier de vraies baguettes, mais de dessiner l\u2019escalier, ils pourront r\u00e9soudre plus vite cette \u00e9preuve, mais non sans passer par des \u00e9tapes similaires). La figure ci-dessous sch\u00e9matise les r\u00e9ponses donn\u00e9es par les enfants de ce stade:<\/p>\n

\"Figure<\/a>
Figure 2<\/figcaption><\/figure>\n
2\u00e8me<\/sup> stade: une m\u00e9thode empirique de s\u00e9riation<\/h5>\n

Un enfant ayant atteint ce niveau parvient \u00e0 construire une s\u00e9riation conforme au mod\u00e8le, mais de mani\u00e8re empirique (de m\u00eame qu\u2019un b\u00e9b\u00e9 du 5\u00e8me<\/sup> stade du sensori-moteur parvenait \u00e0 r\u00e9soudre par t\u00e2tonnement des probl\u00e8mes d\u2019intelligence pratique tel que celui de faire passer un b\u00e2ton \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un parc d\u2019enfant). Il commence par exemple par placer correctement 4 ou 5 b\u00e2tons en les choisissant par simple estimation perceptive, pour prendre ensuite successivement dans n\u2019importe quel ordre chacune des baguettes restantes en l\u2019ins\u00e9rant par t\u00e2tonnement dans la s\u00e9rie d\u00e9j\u00e0 construite et dont il redistribue alors si n\u00e9cessaire les \u00e9l\u00e9ments qui la compose, un proc\u00e9d\u00e9 empirique que sch\u00e9matise l\u00e0 aussi la figure suivante:<\/p>\n

\"Figure<\/a>
Figure 3<\/figcaption><\/figure>\n
3\u00e8me<\/sup> stade (vers 7 ans): une m\u00e9thode op\u00e9ratoire de s\u00e9riation<\/h5>\n

A ce dernier niveau, l\u2019enfant parvient d\u2019un seul coup \u00e0 construire la s\u00e9rie enti\u00e8re, au moyen d\u2019un proc\u00e9d\u00e9 qu\u2019il invente tout seul avant m\u00eame de commencer \u00e0 placer une seule baguette, ou apr\u00e8s avoir commenc\u00e9 \u00e0 placer par estimation perceptive la plus grande ou les deux plus grandes baguettes de la collection initiale, proc\u00e9d\u00e9 qui implique une compr\u00e9hension compl\u00e8te de la notion (relative) de longueur et des op\u00e9rations qui relient les unes aux autres chacune des diff\u00e9rences en jeu. Cette m\u00e9thode consiste \u00e0 se saisir r\u00e9cursivement de l\u2019ensemble de toutes les baguettes restantes (et en premier lieu de toutes les baguettes s\u2019il commence d\u2019embl\u00e9e \u00e0 utiliser ce proc\u00e9d\u00e9), de poser, sans les l\u00e2cher, cet ensemble verticalement sur la table, de s\u2019emparer de la plus grande baguette pour la placer \u00e0 gauche de la s\u00e9rie de celles qui ont d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 plac\u00e9es sur la table pour r\u00e9aliser l\u2019escalier demand\u00e9, et de r\u00e9p\u00e9ter le m\u00eame proc\u00e9d\u00e9 jusqu\u2019\u00e0 ce que l\u2019ensemble de baguettes restantes soit vide:<\/p>\n

\"Figure<\/a>
Figure 4<\/figcaption><\/figure>\n

Contrairement \u00e0 la m\u00e9thode empirique utilis\u00e9e par les enfants du stade 2, un enfant du 3\u00e8me<\/sup> stade sait d\u2019embl\u00e9e qu\u2019en prenant le b\u00e2ton le plus grand de tous les restants, ce b\u00e2ton sera n\u00e9cessairement, une fois plac\u00e9 dans la s\u00e9rie ascendante en construction, le plus petit des b\u00e2tons d\u00e9j\u00e0 plac\u00e9s. Il a donc \u00e0 l\u2019esprit l\u2019ensemble des relations asym\u00e9triques en jeu, et il sait qu\u2019\u00e0 chaque \u00e9tape du processus, la diff\u00e9rence s\u2019accroitra entre le premier et le tout dernier des b\u00e2tons plac\u00e9s.<\/p>\n

A noter cependant que ce proc\u00e9d\u00e9 op\u00e9ratoire utilis\u00e9 par les enfants de ce 3\u00e8me<\/sup> stade implique que ces enfants aient par ailleurs construit la notion op\u00e9ratoire de longueur: le d\u00e9placement d\u2019un objet dans l\u2019espace ne modifie en rien sa longueur. D\u2019autres recherches portant sur la construction de cette notion r\u00e9v\u00e8lent que chez les enfants les plus jeunes, le simple d\u00e9placement d\u2019un objet dans l\u2019espace ne garantit en rien la conservation des longueurs. C\u2019est la raison pour laquelle la logique des relations asym\u00e9triques que l\u2019enfant acquiert entre 6-7 et 9 ans environ est une logique concr\u00e8te, c\u2019est-\u00e0-dire toujours li\u00e9e aux notions attach\u00e9es aux objets concr\u00e8tement manipul\u00e9s par les enfants. Il suffit donc de modifier les objets ou les caract\u00e9ristiques des objets sur lesquels les enfants agissent pour que le savoir op\u00e9ratoire acquis en tel ou tel domaine (ici la s\u00e9riation des longueurs) ne le soit pas n\u00e9cessairement en un autre domaine (celui de la s\u00e9riation d\u2019objets de poids diff\u00e9rents par exemple, la notion op\u00e9ratoire de poids \u00e9tant plus tardivement acquise que celle de longueur).<\/p>\n

Mais revenons au seul probl\u00e8me de la s\u00e9riation des longueurs. On vient de voir que l\u2019enfant du 3\u00e8me<\/sup> stade d\u00e9couvre le proc\u00e9d\u00e9 lui permettant de r\u00e9soudre op\u00e9ratoirement et non pas empiriquement ce probl\u00e8me, proc\u00e9d\u00e9 d\u00e9duit de ce savoir selon lequel, en proc\u00e9dant du plus grand vers le plus petit, chaque \u00e9l\u00e9ment d\u2019une s\u00e9rie succ\u00e8de \u00e0 ses pr\u00e9c\u00e9dents et pr\u00e9c\u00e8de ses suivants (ou vice versa si l\u2019on proc\u00e8de du plus petit au plus grand). En d\u2019autres termes, il coordonne entre elles \u00ab\u00a0les relations ascendantes et les relations descendantes\u00a0\u00bb (Piaget, Epist\u00e9mologie de la relation, in L\u2019\u00e9volution humaine<\/em>, Flammarion, 1957, p. 161\u00a0<\/a>[14]<\/a>). On constate ici la pr\u00e9sence d\u2019une propri\u00e9t\u00e9 fondamentale d\u2019une pens\u00e9e devenue op\u00e9ratoire, c\u2019est-\u00e0-dire capable de concevoir ses objets au moyen d\u2019op\u00e9rations logico-math\u00e9matiques telles que l\u2019addition des diff\u00e9rences, \u00e0 savoir la r\u00e9versibilit\u00e9: \u00e0 toute op\u00e9ration directe correspond une op\u00e9ration inverse; en l\u2019occurrence, \u00e0 l\u2019addition d\u2019une diff\u00e9rence correspond la soustraction de cette diff\u00e9rence addition et soustraction permettant de circuler dans les deux sens dans une s\u00e9rie d\u2019objets de longueurs diff\u00e9rentes comme de concevoir simultan\u00e9ment que si un objet est plus grand qu\u2019un autre, n\u00e9cessairement cet autre est plus petit que le premier.<\/p>\n

Notons \u00e9galement que l\u2019addition des relations asym\u00e9triques est plus simple \u00e0 acqu\u00e9rir et \u00e0 mettre en \u0153uvre que l\u2019addition des classes (avec le probl\u00e8me du rapport entre partie et tout qui la concerne). En effet, si on reprend l\u2019exemple de la s\u00e9riation des baguettes, le mat\u00e9riel utilis\u00e9 permet de constater intuitivement que la diff\u00e9rence entre la 3\u00e8me<\/sup> baguette et la 1\u00e8re<\/sup> contient la diff\u00e9rence entre la 1\u00e8re<\/sup> et la 2e<\/sup>, et la question fait d\u2019embl\u00e9e sens de comparer la troisi\u00e8me (ou la quatri\u00e8me ou la cinqui\u00e8me) \u00e0 la premi\u00e8re, et non pas seulement la deuxi\u00e8me \u00e0 la troisi\u00e8me (alors que de comparer la quantit\u00e9 de fleurs \u00e0 la quantit\u00e9 de roses para\u00eet absurde tant que l\u2019on n\u2019a pas acquis la notion op\u00e9ratoire d\u2019inclusion logique): d\u2019o\u00f9 l\u2019acquisition plus pr\u00e9coce, au moins dans des cas tels que celui de la s\u00e9riation des baguettes, de l\u2019addition des relations asym\u00e9triques, par rapport \u00e0 celle de la quantification des classes. Il n\u2019emp\u00eache que cette saisie intuitive ne prend tout son sens que lorsque l\u2019enfant est capable d\u2019additionner et de soustraire les diff\u00e9rences. C\u2019est alors seulement, en effet, que cet enfant sait d\u2019embl\u00e9e que chaque nouvelle baguette dont il se saisit vient avant les plus grandes d\u00e9j\u00e0 plac\u00e9es et apr\u00e8s les plus petites qu\u2019il restera \u00e0 placer. D\u2019o\u00f9 il peut d\u00e9duire que la somme des diff\u00e9rences successives est \u00e9gale \u00e0 la diff\u00e9rence qui s\u00e9pare la premi\u00e8re des baguettes de celle qu\u2019il est en train de poser. Et d\u2019o\u00f9 il peut \u00e9galement d\u00e9duire, sans obligation de v\u00e9rification empirique, que si on constate que si telle baguette est plus grande qu\u2019une deuxi\u00e8me, et si l\u2019on constate par ailleurs que celle-ci est plus petite qu\u2019une troisi\u00e8me, alors n\u00e9cessairement la premi\u00e8re est plus grande que la troisi\u00e8me. Mais il suffit de poser un probl\u00e8me concernant les relations asym\u00e9triques dans un contexte tel que celui de la s\u00e9riation d\u2019objets de poids diff\u00e9rents o\u00f9 aucun appui n\u2019est possible sur une intuition empirique imm\u00e9diate pour que la ma\u00eetrise op\u00e9ratoire de ces relations ne devienne accessible qu\u2019au m\u00eame \u00e2ge o\u00f9 le devient l\u2019op\u00e9ration apparemment plus abstraite de quantification li\u00e9e \u00e0 l\u2019addition des classes (soit vers 9 ans), et cela alors m\u00eame que la mod\u00e9lisation des op\u00e9rations en jeu dans l\u2019un et dans l\u2019autre cas aboutisse \u00e0 un mod\u00e8le alg\u00e9brique strictement isomorphe.<\/p>\n

Pour terminer cet expos\u00e9 forc\u00e9ment incomplet sur le d\u00e9veloppement de op\u00e9rations logiques concr\u00e8tes chez l\u2019enfant entre 5 et 9 ans, examinons encore le cas non plus de l\u2019addition mais de la multiplication des relations asym\u00e9triques.<\/p>\n

La multiplication des relations asym\u00e9triques<\/h4>\n

Commentons bri\u00e8vement au moyen de deux exemples les \u00e9tapes franchies par les enfants pour acqu\u00e9rir cette op\u00e9ration de multiplication logique des relations asym\u00e9triques (nous retrouverons un probl\u00e8me voisin lors du 9\u00e8me<\/sup> cours portant sur la construction du nombre chez l\u2019enfant).<\/p>\n

Le premier exemple<\/em> concerne la double s\u00e9riation de deux collections d\u2019images dont les unes repr\u00e9sentent les niveaux successifs d\u2019un liquide contenu dans un premier r\u00e9cipient et se d\u00e9versant dans un second r\u00e9cipient, et les autres les niveaux correspondant de liquide remplissant le second r\u00e9cipient au fur et \u00e0 mesure que le premier se vide.<\/p>\n

\"Figure<\/a>
Figure 5<\/figcaption><\/figure>\n

Dans un premier temps, on donne en d\u00e9sordre \u00e0 l\u2019enfant les cartes repr\u00e9sentant la suite des \u00e9v\u00e9nements (voir figure ci-dessus, qui repr\u00e9sentent le dispositif ainsi que la s\u00e9rie ordonn\u00e9e des cartes repr\u00e9sentant cette suite) en lui demandant d\u2019ordonner ces cartes pour qu\u2019une fois s\u00e9ri\u00e9es elles repr\u00e9sentent ce qui se passe au fur et \u00e0 mesure que le liquide s\u2019\u00e9coule.<\/p>\n

Les stades que franchissent les enfants pour r\u00e9pondre \u00e0 ce probl\u00e8me de simple s\u00e9riation correspondent \u00e0 celles observ\u00e9es dans la s\u00e9riation des b\u00e2tons de diff\u00e9rentes longueurs. C\u2019est \u00e9galement vers 7 ans en moyenne que les enfants r\u00e9ussissent ce probl\u00e8me de s\u00e9riation logique.<\/p>\n

Dans un second temps, on donne \u00e0 l\u2019enfant non plus non plus les cartes sur lesquelles sont repr\u00e9sent\u00e9es simultan\u00e9ment le niveau du liquide dans le vase et le niveau de liquide dans le verre dans lequel il s\u2019\u00e9coule, mais deux collections de cartes dont l\u2019une repr\u00e9sente en d\u00e9sordre quelques niveaux du vase qui se vide, et l\u2019autre, \u00e9galement dans le d\u00e9sordre, les niveaux du verre qui se remplit (voir l\u2019illustration ci-dessous qui montre la double s\u00e9riation correctement ordonn\u00e9e).<\/p>\n

\"Figure<\/a>
Figure 6<\/figcaption><\/figure>\n

Ce que sugg\u00e8rent les r\u00e9ponses des enfants \u00e0 ce deuxi\u00e8me probl\u00e8me, c\u2019est que celui-ci, en apparence plus compliqu\u00e9 car exigeant pour sa r\u00e9solution non seulement le recours \u00e0 l\u2019addition de relations asym\u00e9triques mais \u00e9galement \u00e0 la multiplication de deux s\u00e9ries de relations asym\u00e9triques, peut \u00eatre r\u00e9solu d\u00e8s que le premier l\u2019est. Ceci pour autant toutefois que le probl\u00e8me consiste seulement \u00e0 mettre en relation, d\u2019un c\u00f4t\u00e9 des niveaux d\u2019eau successifs dans le verre qui se vide, avec des niveaux d\u2019eau successifs dans le verre qui se remplit, sans que l\u2019enfant ait \u00e0 r\u00e9soudre des probl\u00e8mes de simultan\u00e9it\u00e9 temporelle et ait \u00e0 consid\u00e9rer les vitesses diff\u00e9rentes avec lesquels les niveaux s\u2019abaissent ou s\u2019\u00e9l\u00e8vent dans les deux verres\u00a0<\/a>[15]<\/a>).<\/p>\n

Quant au deuxi\u00e8me exemple<\/em>, il concerne un probl\u00e8me o\u00f9, contrairement au premier, il n\u2019existe pas de correspondance naturelle entre les deux relations \u00e0 multiplier l\u2019une avec l\u2019autre. Dans ce probl\u00e8me, on place en vrac devant l\u2019enfant des images repr\u00e9sentant des feuilles d\u2019arbre donc chacune peut \u00eatre petite, moyenne ou grande, ainsi que de teinte claire, moyenne ou fonc\u00e9e. Le probl\u00e8me que l\u2019enfant va devoir r\u00e9soudre est de ranger toutes ces feuilles selon un ordre de tailles croissantes et selon un ordre de teintes \u00e9galement croissantes. Ce probl\u00e8me en apparence plus compliqu\u00e9 que le premier confirme qu\u2019aussit\u00f4t qu\u2019un enfant sait effectuer une mise en ordre selon une seule des deux dimensions (la taille ou bien la teinte), il sait le faire pour les deux crit\u00e8res de taille et<\/em> de teinte. Pour les enfants, cette capacit\u00e9 de double s\u00e9riation (donc de multiplication de deux s\u00e9ries ordonn\u00e9es) ne soul\u00e8vent pas plus de probl\u00e8me que la seule capacit\u00e9 de construire une simple s\u00e9riation, et ceci quand bien m\u00eame la double s\u00e9riation porte non pas, comme dans le premier exemple, entre des \u00e9l\u00e9ments isol\u00e9s et naturellement reli\u00e9s (le vase qui se vide et le verre qui se remplit), mais sur un m\u00eame ensemble d\u2019\u00e9l\u00e9ments \u00e0 classer selon l\u2019une ou l\u2019autre des deux dimensions consid\u00e9r\u00e9es et qui n\u2019ont aucun lien naturel \u00e9vident (des classes de feuilles de trois couleurs diff\u00e9rentes, et les m\u00eames feuilles pouvant \u00eatre rang\u00e9es dans trois classes de tailles diff\u00e9rentes).<\/p>\n

Examinons plus en d\u00e9tail ce deuxi\u00e8me probl\u00e8me de multiplication des relations asym\u00e9triques portant non plus sur des \u00e9l\u00e9ments isol\u00e9s quoique reli\u00e9s, mais des classes d\u2019\u00e9l\u00e9ments qu\u2019il s\u2019agit de ranger selon deux sortes de relation asym\u00e9trique (la taille et la teinte).<\/p>\n

Soit trois grandeurs de feuilles d\u2019arbres I, II et III, et trois teintes croissantes 1, 2, 3.<\/p>\n

Pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de classification selon les deux dimensions il faut avoir simultan\u00e9ment<\/a>[16]<\/a> \u00e0 l\u2019esprit qu\u2019il ne convient pas seulement de ranger les feuilles soit selon leur taille soit selon leur teinte, mais qu\u2019il faut faire en m\u00eame temps les deux choses. C\u2019est avec une telle exigence \u00e0 l\u2019esprit que l\u2019enfant va donc tout \u00e0 la fois rechercher les petites feuilles qu\u2019il va ranger dans l\u2019ordre croissant des trois teintes, les feuilles de grandeur moyenne qu\u2019il va \u00e9galement ranger dans l\u2019ordre croissant des teintes et enfin les grandes feuilles selon le m\u00eame crit\u00e8re de teinte croissante.\u00a0Ce faisant, il va produire un tableau de classification \u00e0 double entr\u00e9e qui prend la forme suivante:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
I1<\/td>\n\u2192<\/td>\nI2<\/td>\n\u2192<\/td>\nI3<\/td>\n<\/tr>\n
\u2193<\/td>\n<\/td>\n\u2193<\/td>\n<\/td>\n\u2193<\/td>\n<\/tr>\n
II1<\/td>\n\u2192<\/td>\nII2<\/td>\n\u2192<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\u2193<\/td>\n<\/td>\n\u2193<\/td>\n<\/td>\n\u2193<\/td>\n<\/tr>\n
III1<\/td>\n\u2192<\/td>\nIII2<\/td>\n\u2192<\/td>\nIII3<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

En d\u2019autres termes, alors qu\u2019un enfant de niveau pr\u00e9op\u00e9ratoire n\u2019aura pas \u00e0 l\u2019esprit de s\u2019en tenir aux seules petites feuilles pour les ranger selon les trois teintes, puis aux seuls moyennes feuilles pour les ranger selon leur teinte, pour finir seulement par ranger les seules grandes feuilles selon leur teinte et ainsi aboutir \u00e0 r\u00e9soudre le probl\u00e8me de double s\u00e9riation, et qu\u2019il proc\u00e9dera au mieux de mani\u00e8re empirique mais sans parvenir \u00e0 une solution finale satisfaisante, un enfant de niveau op\u00e9ratoire aura la pr\u00e9caution de proc\u00e9der d\u2019embl\u00e9e en coordonnant c\u2019est-\u00e0-dire en multipliant les deux relations d\u2019ordre dont il aura la certitude d\u00e8s le d\u00e9part qu\u2019elle ins\u00e9rera chacun des \u00e9l\u00e9ments en jeu dans la place qui lui revient logiquement et non pas seulement empiriquement.<\/p>\n

Enfin notons que cette symbolisation de ce que r\u00e9alise un enfant lorsqu\u2019il parvient \u00e0 r\u00e9soudre ce probl\u00e8me apparemment plus complexe de multiplication des deux relations asym\u00e9triques r\u00e9v\u00e8le comment cette multiplication n\u2019est rien d\u2019autre qu\u2019une mise en correspondance de deux additions de relations asym\u00e9triques, ce qui permet de comprendre pourquoi un enfant qui a construit l\u2019op\u00e9ration d\u2019addition logique des relations n\u2019a pas de peine \u00e0 r\u00e9soudre simultan\u00e9ment ou apr\u00e8s un bref t\u00e2tonnement un probl\u00e8me de multiplication revenant \u00e0 chaque fois \u00e0 croiser ou coordonner l\u2019addition des diff\u00e9rences propres \u00e0 la premi\u00e8re relation (diff\u00e9rences symbolis\u00e9es par les fl\u00e8ches du tableau ci-dessus) avec l\u2019addition des diff\u00e9rences propres \u00e0 la deuxi\u00e8me relation (ou \u00e0 la troisi\u00e8me, etc., s\u2019il y en a plus que deux).<\/p>\n

* * * * *<\/p>\n

Je vais arr\u00eater l\u00e0 cette analyse logique des op\u00e9rations additives et multiplicatives au moyen desquelles les enfants de 6-7 \u00e0 9 ans parviennent \u00e0 r\u00e9soudre les probl\u00e8mes logiques auxquels les confrontent les chercheurs en psychologie g\u00e9n\u00e9tique, non sans mentionner une nouvelle fois que ces op\u00e9rations qui apparaissent sous une forme particuli\u00e8rement \u00e9pur\u00e9e dans le contexte de ces recherches piag\u00e9tiennes n\u2019en sont pas moins constamment utilis\u00e9es dans la vie de tous les jours pour classer ou ranger des objets, ainsi que concevoir les relations logiques que ces objets entretiennent les uns avec les autres.<\/p>\n

J\u2019ajouterai seulement, et sans entrer dans le d\u00e9tail, les deux remarques suivantes:<\/p>\n

1\u00b0 La formalisation que l\u2019on peut faire des groupements d\u2019op\u00e9ration de classification ou de s\u00e9riation r\u00e9v\u00e8lent que ces groupements (par exemple celui de l\u2019addition des classes, avec son inverse, la soustraction logique des classes) ob\u00e9issent \u00e0 des lois ou r\u00e9v\u00e8lent des propri\u00e9t\u00e9s math\u00e9matiques pr\u00e9cises. Ce que Piaget r\u00e9sume dans les termes suivants: \u00ab\u00a0la pens\u00e9e de l\u2019enfant ne devient logique que par l\u2019organisation de syst\u00e8mes d\u2019op\u00e9rations ob\u00e9issant \u00e0 des lois d\u2019ensemble communes\u00a0\u00bb, \u00e0 savoir: i<\/em>. la loi de composition (deux op\u00e9rations d\u2019un ensemble peuvent toujours se composer entre elles et donner comme produit une op\u00e9ration de l\u2019ensemble); ii<\/em>. la r\u00e9versibilit\u00e9 (toute op\u00e9ration de l\u2019ensemble peut \u00eatre invers\u00e9e, ce que l\u2019on a vu aussi bien en logique des classes qu\u2019en logique des relations; iii<\/em>. L\u2019op\u00e9ration directe d\u2019un ensemble compos\u00e9e avec son inverse donne une op\u00e9ration nulle ou identique: ajouter la classe des humains puis la soustraire de la classe des animaux revient \u00e0 laisser identique cette derni\u00e8re. Ces trois lois valent aussi bien pour l\u2019arithm\u00e9tique que pour la logique des classes et des relations; mais certaines lois ne valent plus que pour ces derni\u00e8res, notamment iv<\/em>. celle dite de tautologie qui concerne l\u2019existence en logique d\u2019op\u00e9rations identiques sp\u00e9ciales: additionner la classe des humains \u00e0 la classe des humains revient \u00e0 additionner la classe des humains, alors qu\u2019en arithm\u00e9tique additionner un nombre puis additionner \u00e0 nouveau ce nombre ne revient pas \u00e0 additionner une seule fois ce nombre. L\u2019existence de ces lois propres \u00e0 la seule logique des classes et des relations justifie le fait que Piaget appelle \u00ab\u00a0groupement\u00a0\u00bb les regroupements op\u00e9ratoires d\u2019op\u00e9rations logiques, et qu\u2019il r\u00e9serve le nom de \u00ab\u00a0groupe\u00a0\u00bb aux structures d\u2019op\u00e9rations dont les lois ne connaissent pas les limitations propres aux groupements logiques.<\/p>\n

2\u00b0 L\u2019analyse cette fois non plus logique des groupements d\u2019op\u00e9rations logiques montre que les lois alg\u00e9briques d\u00e9gag\u00e9es par l\u2019analyse logique ont une r\u00e9elle port\u00e9e psychologique. Par exemple, lorsque le sujet ayant atteint le niveau op\u00e9ratoire compose des op\u00e9rations logiques (ou arithm\u00e9tiques, ou g\u00e9om\u00e9triques), il sait qu\u2019il peut toujours les inverser (ou les annuler), non pas en se souvenant du point de d\u00e9part (ce qui ne garantit pas une inversion logique), mais en effectuant en ordre inverse les transformations pr\u00e9c\u00e9demment effectu\u00e9es. Ce savoir d\u2019une op\u00e9ration d\u2019inversion toujours logiquement et psychologiquement possible (pour autant que le sujet ait conserv\u00e9 la trace des op\u00e9rations effectu\u00e9es) permet ainsi d\u2019\u00e9viter de devoir se souvenir de l\u2019encha\u00eenement de tous nos \u00e9tats de conscience, une m\u00e9morisation d\u2019ailleurs psychologiquement impossible. Le sujet sait en outre que, sauf erreur d\u2019attention et non respect des r\u00e8gles logiques, toute d\u00e9duction ou calcul r\u00e9alis\u00e9 \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un champ op\u00e9ratoire aboutit \u00e0 des conclusions ou des r\u00e9sultats certains.<\/p>\n

_________________________<\/p>\n

<\/a>[1]<\/a> Rappelons \u2014et ceci est important\u2014 que cette activit\u00e9 intentionnelle de coordination des moyens et des fins ne remplace pas mais compl\u00e8te des processus plus \u00e9l\u00e9mentaires d\u2019accommodation, de diff\u00e9renciation et de coordination (non-intentionnelle) des sch\u00e8mes d\u2019assimilation pouvant eux aussi donner naissance \u00e0 de nouveaux sch\u00e8mes sur lesquels la coordination intentionnelle des moyens et des fins pourra s\u2019appuyer.<\/p>\n

<\/a>[2]<\/a> La logique du vivant. Une histoire de l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9. Paris, Gallimard, 1970. Fran\u00e7ois Jacob est, aux c\u00f4t\u00e9s de Jacques Monod et Andr\u00e9 Lwoff, l\u2019un des trois biologistes \u00e0 qui l\u2019on doit la d\u00e9couverte de l\u2019ARN messager en 1960, c\u2019est-\u00e0-dire les mol\u00e9cules qui transmettent au sein du cytoplasme l\u2019information contenue dans les g\u00e8nes.<\/p>\n

<\/a>[3]<\/a> L\u2019expos\u00e9 que donne Couturat du calcul logique et des notions qui le composent est simplifi\u00e9 et lacunaire par rapport au calcul que des auteurs tels que Russell et Whitehead sont en train de d\u00e9velopper. La notion d\u2019implication, par exemple, est chez ces auteurs l\u2019objet d\u2019une analyse qui les conduit \u00e0 distinguer une notion dite mat\u00e9rielle d\u2019implication, correspondant \u00e0 l\u2019usage courant de l\u2019implication tel qu\u2019il est illustr\u00e9 ici par ce qui est dit de Socrate (soit un usage qui se rattache tr\u00e8s directement \u00e0 la notion d\u2019inclusion logique) de la notion d\u2019implication formelle, qui lie n\u00e9cessairement des propositions les unes aux autres, dans la mesure o\u00f9 elles ob\u00e9issent \u00e0 des lois logiques. Alors, apr\u00e8s tout, qu\u2019il n\u2019est pas logiquement n\u00e9cessaire que Socrate soit mortel (sauf du point de vue aristot\u00e9licien d\u2019une ontologie m\u00e9taphysique qui admet l\u2019existence d\u2019essences logiques telles que celle de l\u2019humain), la proposition \u00ab\u00a0p \u2283\u00a0r\u00a0\u00bb est n\u00e9cessairement, c\u2019est-\u00e0-dire logiquement vraie s\u2019il est vrai que les propositions \u00ab\u00a0p \u2283\u00a0q\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0q \u2283\u00a0r\u00a0\u00bb le sont, ce qui en termes de logique math\u00e9matique s\u2019\u00e9crit: \u00ab\u00a0(p \u2283\u00a0q) et (q \u2283\u00a0r)\u00a0\u21d2 (p\u00a0\u2283<\/span> r)\u00a0\u00bb, le symbole \u00ab \u21d2\u00a0\u00bb exprimant l\u2019implication formelle, qui relie des propositions, alors que, malgr\u00e9 les apparences, l\u2019implication commune porte sur les rapports logiques des contenus de deux propositions telles que Socrate est un homme et Socrate est mortel.<\/p>\n

<\/a>[4]<\/a> Tout ceci para\u00eet \u00e0 premi\u00e8re vue hautement abstrait et bien peu psychologique. N\u00e9anmoins de telles op\u00e9rations logiques sous-tendent la plupart de nos conduites, comme par exemple lorsque nous rangeons des assiettes ensemble et que nous mettons cet ensemble en un lieu regroupant non pas des habits, mais d\u2019autres couverts de table (par exemple des verres, des tasses, etc.). La logique que nous mettons alors en \u0153uvre n\u2019est plus seulement une logique de l\u2019action, mais une logique de la pens\u00e9e, bas\u00e9e sur des op\u00e9rations qui nous permettent de mettre en relation les classes en question.<\/p>\n

<\/a>[5]<\/a> T. Simon \u00e9tait le coll\u00e8gue et successeur d\u2019Alfred Binet (d\u00e9c\u00e9d\u00e9 en 1912), l\u2019un des p\u00e8res fondateurs d\u2019un test de diagnostic de l\u2019intelligence chez l\u2019enfant toujours utilis\u00e9, sous une forme r\u00e9guli\u00e8rement r\u00e9vis\u00e9e, en psychologie appliqu\u00e9e. Binet avait par ailleurs r\u00e9alis\u00e9 plusieurs recherches sur le fonctionnement de l\u2019intelligence chez l\u2019enfant, mais sans parvenir \u00e0 en percer la structure.<\/p>\n

<\/a>[6]<\/a> Cette pseudo-contradiction na\u00eet de la fausse assimilation de la propri\u00e9t\u00e9 relative<\/em> qu\u2019est le fait d\u2019\u00eatre plus ou moins clair ou plus ou moins brun \u00e0 une propri\u00e9t\u00e9 absolue telle que celle d\u2019\u00eatre un nombre positif ou au contraire un nombre n\u00e9gatif : un nombre ne peut pas \u00eatre simultan\u00e9ment positif ou n\u00e9gatif; il est soit l\u2019un soit l\u2019autre, et dire qu\u2019un nombre peut \u00eatre plus positif ou plus n\u00e9gatif qu\u2019un autre n\u2019a aucun sens. Cette assimilation erron\u00e9e, chez un sujet, d\u2019une propri\u00e9t\u00e9 relative \u00e0 une propri\u00e9t\u00e9 absolue est un indice de la non-maitrise, chez lui, de la logique des relations.<\/p>\n

<\/a>[7]<\/a> Dans le cas de la classification des esp\u00e8ces en biologie, il peut arriver (du moins si l\u2019on en croit ce qu\u2019\u00e9crit le naturaliste et<\/em> logicien Piaget dans ses ouvrages de logique) qu\u2019une sous-classe contenue dans une classe de niveau sup\u00e9rieur contienne autant d\u2019\u00e9l\u00e9ments, ni plus ni moins, que la classe qui l\u2019inclut en contient. Cela n\u2019est cependant biologiquement possible que lorsque la classe de rang sup\u00e9rieur ne contient (du moins en l\u2019\u00e9tat actuel des d\u00e9couvertes biologiques) qu\u2019une seule sous-classe\u00a0! Comme ce type de situation ne se rencontre pas dans la vie commune (laquelle, contrairement \u00e0 la taxonomie biologique, ne distingue pas de multiples niveaux de classification tr\u00e8s bien d\u00e9termin\u00e9s, \u00e0 savoir esp\u00e8ces, genres, familles, ordres, classes, embranchements, r\u00e8gnes), nous nous limiterons \u00e0 ne consid\u00e9rer le probl\u00e8me de la quantification logique que dans le cas o\u00f9 le nombre de sous-classes d\u2019une classe logique ne se r\u00e9duit pas \u00e0 une seule sous-classe (\u00e0 noter qu\u2019en biologie le terme de \u00ab\u00a0classe\u00a0\u00bb d\u00e9signe un rang bien d\u00e9termin\u00e9 de la hi\u00e9rarchie des formes, celui compris entre les ordres et les embranchements; dans le pr\u00e9sent texte, \u00ab\u00a0classe\u00a0\u00bb doit bien entendu \u00eatre compris dans le seul sens logique, et non pas dans le sens biologique).<\/p>\n

<\/a>[8]<\/a> Les recherches de ce premier type sont pr\u00e9sent\u00e9es dans un ouvrage de 1959 sur La gen\u00e8se des structures logiques \u00e9l\u00e9mentaires<\/em>, qui compl\u00e8te les chapitres de l\u2019ouvrage de 1941 sur La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/em> portant sur les op\u00e9rations logiques \u00e9l\u00e9mentaires, dont l\u2019inclusion ou l\u2019addition logique.<\/p>\n

<\/a>[9]<\/a> Le prochain cours sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant explicitera les raisons pour lesquelles une \u00e9tude sur le d\u00e9veloppement de la quantification logique a \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9e en lien avec la recherche sur le nombre.<\/p>\n

<\/a>[10]<\/a> \u00c0 noter: cette question standard porte sur la quantit\u00e9 logique et non pas sur la quantit\u00e9 arithm\u00e9tique des deux collections d\u2019\u00e9l\u00e9ments en jeu (bien qu\u2019un lien relie n\u00e9cessairement la seconde notion \u00e0 la premi\u00e8re, l\u2019inverse n\u2019\u00e9tant pas vrai : savoir qu\u2019il y a arithm\u00e9tiquement plus de pommes rouges que de pommes vertes dans deux collections de pommes ne permet pas de conclure que la quantit\u00e9 logique de la premi\u00e8re collection est plus grande que celle de la seconde ; en fait, il n\u2019existe aucun rapport de quantit\u00e9 logique entre la collection des pommes rouges et celles des pommes vertes.<\/p>\n

<\/a>[11]<\/a> Nous ne pouvons pas approfondir ici ce point pourtant essentiel de la conception piag\u00e9tienne de l\u2019intelligence, conception qui correspond, sur le terrain du d\u00e9veloppement psychologique, \u00e0 la distinction entre adaptation ph\u00e9notypique et plus superficielle, dans laquelle pr\u00e9domine l\u2019action du milieu sur la forme d\u2019un organe d\u2019un \u00eatre vivant, et adaptation g\u00e9notypique plus profonde dans laquelle il y peut y avoir r\u00e9organisation durable des d\u00e9terminants internes de la forme du m\u00eame organe). Bri\u00e8vement dit, sur le terrain de l\u2019intelligence, singer Einstein n\u2019est pas le comprendre. Le comprendre, c\u2019est reconstruire les d\u00e9terminants cognitifs internes de sa th\u00e9orie physique, ou plus simplement reconstruire celle-ci (et non pas l\u2019apprendre par c\u0153ur).<\/p>\n

<\/a>[12]<\/a> Les r\u00e9ponses d\u2019Anouchka que nous pr\u00e9sentons ici sont extraites d\u2019une vid\u00e9o<\/a> qui peut \u00eatre consult\u00e9e sur le site de la Fondation Jean Piaget, \u00e0 l\u2019adresse URL suivante:
\nhttp:\/\/www.fondationjeanpiaget.ch\/fjp\/site\/ModuleFJP001\/index_gen_page.php?IDPAGE=79&IDMODULE=44<\/p>\n

<\/a>[13]<\/a> A noter que l\u2019exercice intellectuel que nous r\u00e9alisons ici afin de traduire sous forme de symboles les op\u00e9rations de pens\u00e9e de l\u2019enfant met en \u0153uvre, sur un plan certes plus abstrait, le m\u00eame processus d\u2019abstraction et de r\u00e9flexion que celui qu\u2019Anouchka doit accomplir pour progresser dans les r\u00e9ponses qu\u2019elle apporte au probl\u00e8me impliqu\u00e9 dans les questions du psychologue qui l\u2019interroge. En d\u2019autres termes, elle est amen\u00e9e \u00e0 penser ce qu\u2019elle accomplit spontan\u00e9ment lorsqu\u2019elle con\u00e7oit le bouquet en tant que compos\u00e9 par des roses et des \u0153illets.<\/p>\n

<\/a>[14]<\/a> Texte disponible<\/a> sur le site de la Fondation Jean Piaget.<\/p>\n

<\/a>[15]<\/a> Lorsque le probl\u00e8me fait explicitement intervenir des questions de vitesse et de temporalit\u00e9, l\u2019enfant qui parvient vers 7 ans \u00e0 r\u00e9soudre s\u00e9par\u00e9ment les deux s\u00e9riations puis \u00e0 les mettre en correspondance en s\u2019appuyant sur la s\u00e9riation des hauteurs, ne parvient \u00e0 coordonner op\u00e9ratoirement les deux s\u00e9rie d’images que vers 9 ans (ce d\u00e9calage s\u2019expliquant par la complexit\u00e9 propre aux notions op\u00e9ratoire de vitesse et de temps; voir \u00e0 ce sujet le 1er chapitre<\/a> de l\u2019ouvrage de Piaget sur Le d\u00e9veloppement de la notion de temps chez l\u2019enfant<\/em>)!<\/p>\n

<\/a>[16]<\/a> \u00c0 noter que, contrairement au probl\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent, le sujet n\u2019a pas \u00e0 maitriser \u2014donc \u00e0 penser\u2014 op\u00e9ratoirement la notion de simultan\u00e9it\u00e9 (et donc \u00e0 composer des mouvements de vitesse diff\u00e9rente) pour r\u00e9ussir cette op\u00e9ration de multiplication logique, mais \u00e0 op\u00e9rer simultan\u00e9ment une double classification, ce qui n\u2019est pas la m\u00eame chose!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La gen\u00e8se des op\u00e9rations logiques concr\u00e8tes I. Contexte intellectuel et premiers travaux II. Recherches sur la classification logique III. Recherches sur la s\u00e9riation logique [version PDF du cours n. 7] [Vers: Cours n. 12 \u2014\u00a0Cours n. 11 \u2014\u00a0Cours n. 10 \u2014\u00a0Cours n. 9 \u2014 Cours n. 8 \u2014 Cours n. 6 \u2014 Cours n. 5… Read more <small>J. Piaget et la psychologie du d\u00e9veloppement cognitif (VII)<\/small><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[32,33],"tags":[],"class_list":["post-772","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-developpement-de-lintelligence","category-psychologie-genetique"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/772","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=772"}],"version-history":[{"count":88,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/772\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1639,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/772\/revisions\/1639"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=772"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=772"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=772"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}