{"id":1141,"date":"2012-01-02T22:59:07","date_gmt":"2012-01-02T21:59:07","guid":{"rendered":"http:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/?p=1141"},"modified":"2012-03-26T10:37:06","modified_gmt":"2012-03-26T09:37:06","slug":"j-piaget-et-la-psychologie-du-developpement-cognitif-ix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/2012\/01\/02\/j-piaget-et-la-psychologie-du-developpement-cognitif-ix\/","title":{"rendered":"J. Piaget et la psychologie du d\u00e9veloppement cognitif (IX)<\/small>"},"content":{"rendered":"

Recherches sur la gen\u00e8se du nombre (2e<\/sup> partie)<\/small><\/h2>\n

[version PDF du cours n. 9<\/a>]<\/p>\n

[Vers: Cours n. 12<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 11<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 10<\/a> \u2014 Cours n. 8<\/a> \u2014 Cours n. 7<\/a> \u2014 Cours n. 6<\/a> \u2014 Cours n. 5<\/a> \u2014 Cours n. 4<\/a> \u2014 Cours n. 3<\/a> \u2014 Cours n. 2<\/a> \u2014 Cours n. 1<\/a>]<\/p>\n

Introduction<\/h4>\n

Lors du dernier cours nous avons pris connaissance des trois contextes intellectuels \u00e0 partir desquels Piaget a mis en place ses travaux sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant. En examinant aujourd\u2019hui quelques-uns de ces travaux, on verra que ceux-ci doivent beaucoup \u00e0 l\u2019approche kantienne consistant \u00e0 rechercher les racines du nombre et donc de la science arithm\u00e9tique chez le sujet (en tant qu\u2019\u00eatre agissant et transformant son milieu) et non pas dans l\u2019objet (c\u2019est-\u00e0-dire dans la r\u00e9alit\u00e9 ext\u00e9rieure, que ce soit, \u00e0 la mani\u00e8re de Platon, dans le monde des Id\u00e9es, ou que ce soit dans l\u2019exp\u00e9rience physique la plus commune). On verra \u00e9galement comment Piaget a pu s\u2019appuyer sur les clarifi\u00adcations et d\u00e9finitions livr\u00e9es par les math\u00e9maticiens philosophes de la fin du 19e<\/sup> si\u00e8cle et du d\u00e9but du 20e<\/sup> dans leur effort de fonder la science arithm\u00e9tique, que ces math\u00e9maticiens philosophes s\u2019inscrivent dans la filiation kantienne (comme Dedekind) ou au contraire la rejettent (comme Russell).<\/p>\n

Mais l\u00e0 o\u00f9 Piaget se s\u00e9pare de ces auteurs c\u2019est dans le fait qu\u2019\u00e9tant lui aussi int\u00e9ress\u00e9 par le double probl\u00e8me de l\u2019origine \u00e9pist\u00e9mologique et de la signification du nombre, il est le premier \u00e9pist\u00e9mologiste qui se tourne m\u00e9thodiquement vers l\u2019\u00e9tude de la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant dans l\u2019espoir d\u2019y d\u00e9couvrir des faits susceptibles d\u2019\u00e9clairer \u00e0 la fois l\u2019origine et la signification de ce nombre naturel<\/em> qui, pr\u00e9c\u00e9dant l\u2019av\u00e8nement de la science arithm\u00e9tique, a servi de base \u00e9pist\u00e9mologique et logique \u00e0 celle-ci (base, qui comme on va le voir, trouve un \u00e9cho dans les r\u00e9sultats auxquels sont parvenus ces math\u00e9maticiens-philosophes dont il vient d\u2019\u00eatre question).<\/p>\n

\u00c0 quelques exceptions pr\u00e8s (dont, comme nous l\u2019avons vu, Dedekind dans sa tentative de r\u00e9ponse \u00e0 la question \u00ab que signifie et que vaut le nombre ? \u00bb), aucun philosophe ou math\u00e9maticien n\u2019avait alors entrevu que l\u2019\u00e9tude des enfants puissent apporter quelques lumi\u00e8res \u00e0 ce double probl\u00e8me. Et cela, encore une fois, parce qu\u2019aucun ne pouvait imaginer qu\u2019un enfant puisse \u00eatre (re)cr\u00e9ateur de cette notion par le biais d\u2019un d\u00e9velop\u00adpement cognitif au moins en partie (et pour les composantes les plus essentielles du nombre en tr\u00e8s grande partie<\/em>) autonome par rapport \u00e0 ce que ses a\u00een\u00e9s et d\u2019abord ses parents et ses enseignants pouvaient lui transmettre de ce savoir arithm\u00e9tique dont nos lointains anc\u00eatres avaient d\u00e9j\u00e0 connaissance.<\/p>\n

Avec Piaget, la vision de l\u2019enfant bascule radicalement non pas parce qu\u2019il nie le r\u00f4le que peut jouer la transmission sociale dans le d\u00e9veloppement cognitif de l\u2019enfant, mais parce que, en \u00e9tendant la r\u00e9volution kantienne au domaine de la psychogen\u00e8se, il con\u00e7oit l\u2019importance d\u00e9terminante de l\u2019activit\u00e9 structurante<\/em> propre \u00e0 l\u2019enfant, et en particulier des tr\u00e8s nombreuses coordinations<\/em> mentales que celui-ci r\u00e9alise dans son effort d\u2019assimiler le monde qui l\u2019entoure, que ce soit lorsqu\u2019il interagit spontan\u00e9ment et librement avec ce monde, ou que ce soit lorsqu\u2019il tente d\u2019appr\u00e9hender le savoir transmis par autrui.<\/p>\n

<\/p>\n

Mais si Piaget trouve dans l\u2019\u00e9tude psychog\u00e9n\u00e9tique de l\u2019enfant des cl\u00e9s permettant d\u2019\u00e9clairer l\u2019origine et la signification du nombre \u00ab naturel \u00bb ayant servi de point de d\u00e9part \u00e0 la science arithm\u00e9tique, en faisant ainsi b\u00e9n\u00e9ficier l\u2019\u00e9pist\u00e9mologie des apports de la psychologie de l\u2019enfant, r\u00e9ciproquement ce qu\u2019il apprend ou a appris aupr\u00e8s des math\u00e9maticiens-philosophes (et de ses ma\u00eetres en philosophie et en \u00e9pist\u00e9mologie que furent Arnold Reymond et L\u00e9on Brunschvicg <\/a>[1]<\/a>) ne cesse de nourrir le regard non seulement de psychologue mais aussi d\u2019\u00e9pist\u00e9mologiste qu\u2019il jette sur les enfants et leurs notions de nombre, en lui permettant ainsi d\u2019atteindre un niveau de perspicacit\u00e9 dans la lecture des faits jamais atteint par les psychologues qui l\u2019ont pr\u00e9c\u00e9d\u00e9.<\/p>\n

Apr\u00e8s ce bref rappel de l\u2019appui que Piaget a pu trouver aupr\u00e8s des math\u00e9maticiens-philosophes \u2014mais aussi, sur le plan de la m\u00e9thode, des psychologues de l\u2019enfant qui l\u2019ont pr\u00e9c\u00e9d\u00e9\u2014, il est temps de prendre connaissance des principaux r\u00e9sultats de ses recherches sur la gen\u00e8se du nombre, l\u00e0 aussi dans la double optique de conna\u00eetre les notions successives que les enfants peuvent se faire du nombre, mais \u00e9galement de mieux cerner l\u2019origine \u00e9pist\u00e9mologique et la signification ce nombre naturel qui est \u00e0 la base de l\u2019arithm\u00e9tique.<\/p>\n

A. La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/h3>\n

La formation en \u00e9pist\u00e9mologie de Piaget lui a permis, d\u00e8s le d\u00e9part, de porter son attention sur trois probl\u00e8mes : (1) le probl\u00e8me de l\u2019invariance<\/em> ou de la conservation<\/em> du nombre cardinal d\u2019un ensemble d\u2019\u00e9l\u00e9ments, ou du nombre ordinal de chacun des \u00e9l\u00e9ments d\u2019une s\u00e9rie d\u00e9nombrable d\u2019objets ; (2) le probl\u00e8me du r\u00f4le de la corres\u00adpondance terme \u00e0 terme (ou de la correspondance biunivoque) entre des \u00e9l\u00e9ments de deux collections dans la construction du nombre cardinal et du nombre ordinal ; (3) le probl\u00e8me du r\u00f4le jou\u00e9 par l\u2019ordination ou la s\u00e9riation dans la mesure du cardinal d\u2019un ensemble, ou inversement par la cardination dans l\u2019attribution du nombre ordinal \u00e0 un \u00e9l\u00e9ment d\u2019une s\u00e9rie, en d\u2019autres termes, le probl\u00e8me du lien ou de l\u2019absence de lien entre classification (ou colligation) et s\u00e9riation dans la construction et la compr\u00e9hension intellectuelles des nombres ordinaux et cardinaux.<\/p>\n

D\u2019autres probl\u00e8mes viendront s\u2019ajouter par la suite, en lien avec de nouveaux constats issus de la recherche en psychologie g\u00e9n\u00e9tique qui n\u00e9cessiteront une r\u00e9vision des premi\u00e8res th\u00e8ses d\u00e9velopp\u00e9es par Piaget dans son ouvrage classique sur La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/em> (1\u00e8re<\/sup> \u00e9d., 1941).<\/p>\n

I. La correspondance biunivoque et
\nle probl\u00e8me de la conservation du nombre<\/h4>\n

Il est \u00e9vident que nul ne peut pr\u00e9tendre avoir compris ce qu\u2019est un nombre ou avoir pleinement diff\u00e9renci\u00e9 sa notion des autres notions de quantit\u00e9 si, par exemple, il suffit de modifier l\u2019emplacement spatial des \u00e9l\u00e9ments d\u2019une collection pour que le nombre cardinal de cette collection soit jug\u00e9 modifi\u00e9 ! Pour \u00e9tudier si la conservation du nombre est inn\u00e9e chez l\u2019humain ou si au contraire chaque individu la (re)construit ou du moins l\u2019acquiert au cours de sa psychogen\u00e8se <\/a>[2]<\/a>, plusieurs situations-probl\u00e8mes ou \u00e9preuves ont \u00e9t\u00e9 pos\u00e9es aux enfants. J\u2019en retiendrai deux, dont les r\u00e9sultats sont plus longuement expos\u00e9s dans La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/em> : l\u2019\u00e9preuve des perles et celle des \u0153ufs et des coquetiers (ou des vases et des fleurs).<\/p>\n

L\u2019\u00e9preuve des perles<\/h5>\n

Cette \u00e9preuve est la transposition sur le terrain des quantit\u00e9s discr\u00e8tes de l\u2019\u00e9preuve de la conservation des quantit\u00e9s de liquide utilis\u00e9e dans le cadre des travaux sur la gen\u00e8se des quantit\u00e9s physiques chez l\u2019enfant. Dans cette derni\u00e8re \u00e9preuve, des quantit\u00e9s \u00e9gales de liquide sont vers\u00e9es dans deux verres A et B de forme rigoureusement identique. Une fois l\u2019\u00e9galit\u00e9 reconnue par l\u2019enfant, le contenu de A est transvas\u00e9 dans un autre verre C de forme diff\u00e9rente (par exemple un verre plus allong\u00e9) et l\u2019on demande alors au sujet s\u2019il y a plus, moins ou la m\u00eame chose de liquide dans les deux verres A et C. Confront\u00e9 \u00e0 ce probl\u00e8me, les r\u00e9ponses des enfants peuvent sans trop d\u2019incertitude \u00eatre rang\u00e9es dans l\u2019une ou l\u2019autre des trois \u00e9tapes : la premi\u00e8re de non-conservation, la deuxi\u00e8me couvrant des r\u00e9ponses dites interm\u00e9diaires, la troisi\u00e8me, caract\u00e9ris\u00e9e par des r\u00e9ponses clairement conservatoires.<\/p>\n

Le remplacement du liquide par des perles permet d\u2019ajouter la correspondance terme \u00e0 terme aux caract\u00e9ristiques de la situation sur lesquelles l\u2019enfant peut se fonder pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question de conservation ou non de la quantit\u00e9 transvas\u00e9e. Voil\u00e0 de mani\u00e8re plus d\u00e9taill\u00e9e la technique utilis\u00e9e dans cette \u00e9preuve de conservation d\u2019une quantit\u00e9 de perles.<\/p>\n

L\u2019enfant a devant lui les deux verres A et B de forme identique. L\u2019exp\u00e9rimentateur (E) verse des perles dans A jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019un certain niveau soit atteint. (E) demande \u00e0 l\u2019enfant de mettre la m\u00eame chose de perles dans B. Celui-ci ayant termin\u00e9 de mettre des perles dans B, (E) lui demande s\u2019il est s\u00fbr qu\u2019il y a la m\u00eame chose ou si au contraire l\u2019un a plus et l\u2019autre moins. Quel que soit leur niveau de d\u00e9veloppement, les enfants interrog\u00e9s n\u2019ont bien s\u00fbr aucune peine \u00e0 reconna\u00eetre l\u2019\u00e9galit\u00e9, puisque dans les deux verres les perles \u00ab arrivent au m\u00eame niveau \u00bb. Une fois cette v\u00e9rification effectu\u00e9e, (E) verse alors le contenu de B dans un verre P plus petit et plus large, ou bien dans un verre L plus allong\u00e9, puis il demande \u00e0 l\u2019enfant s\u2019il y a la m\u00eame chose ou plus ou moins de perles dans P (ou dans L) que dans A. Mais il accompagne cette question standard par des questions compl\u00e9mentaires. Par exemple, il peut demander \u00e0 l\u2019enfant de juger l\u2019\u00e9galit\u00e9 ou l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de deux colliers de perles que l\u2019on pourrait faire, l\u2019un avec les perles contenues dans un des verres, l\u2019autre avec les perles contenues dans un autre verre. Dans le cas o\u00f9 cette question sur les deux colliers intervient juste apr\u00e8s la constatation de l\u2019\u00e9galit\u00e9 des niveaux de billes atteints dans deux verres de forme identique, les enfants r\u00e9pondront bien s\u00fbr tous qu\u2019ils ont m\u00eame longueur. Mais que se passe-t-il dans le cas o\u00f9 la m\u00eame question est pos\u00e9e apr\u00e8s que le contenu de l\u2019un des deux verres de forme identique a \u00e9t\u00e9 transvas\u00e9 dans l\u2019un des deux verres P ou L ?<\/p>\n

Enfin, une autre mani\u00e8re de compl\u00e9ter la situation standard (donc le simple transvasement dans un verre de forme diff\u00e9rente) consiste \u00e0 demander \u00e0 l\u2019enfant de mettre la m\u00eame chose de billes dans chacun des r\u00e9cipients de forme soit identique soit diff\u00e9rente, ceci en proc\u00e9dant bille apr\u00e8s bille<\/em>, donc en mettant simultan\u00e9ment une bille dans chaque verre, puis une autre bille, puis une autre, etc., ce qui aboutit finalement \u00e0 ce que les niveaux respectifs soient \u00e9gaux lorsque les verres sont identiques, diff\u00e9rents lorsqu\u2019ils sont diff\u00e9rents. Le fait que l\u2019enfant ait proc\u00e9d\u00e9 pas \u00e0 pas et, donc, par correspondance terme \u00e0 terme des actions de placer pas \u00e0 pas les billes dans les deux verres va-t-il influencer les r\u00e9ponses des enfants, ce qui tendrait \u00e0 renforcer la th\u00e8se inn\u00e9iste concernant l\u2019origine du nombre, en montrant que quel que soit l\u2019\u00e2ge des enfants, cette technique aurait pour effet de conclure \u00e0 l\u2019\u00e9galit\u00e9 num\u00e9rique quelle que soit la forme des r\u00e9cipients ? Les r\u00e9sultats d\u00e9montrent qu\u2019il n\u2019en est rien.<\/p>\n

R\u00e9sultats<\/h6>\n

A un premier stade<\/em>, dans le cas de l\u2019\u00e9preuve standard comme dans le cas (2) de la question portant sur la longueur respective des colliers et dans le cas (3) de l\u2019utilisation de la correspondance terme \u00e0 terme, les enfants nient la conservation de l\u2019\u00e9galit\u00e9 des billes, ce qui implique la non-conservation de la quantit\u00e9 de billes transf\u00e9r\u00e9es dans un verre de forme diff\u00e9rente, et ce qui implique donc qu\u2019ils n\u2019ont pas encore acquis ou construit la notion de nombre au sens arithm\u00e9tique du terme.<\/p>\n

Pour le verre L par exemple, ils r\u00e9pondront en g\u00e9n\u00e9ral qu\u2019il y a maintenant plus de perles dans L que dans A, car le niveau atteint par les perles est plus \u00e9lev\u00e9. Et si ensuite on leur demande ce qui se passe pour les deux colliers, l\u2019un fait avec les perles, disons, rouges du verre A, et l\u2019autre avec les perles vertes du verre L, ils r\u00e9pondront, \u00e0 la mani\u00e8re de Roc (5 ans) que le collier vert est \u00ab plus long, parce qu\u2019il a plus \u00bb (Gen\u00e8se du nombre<\/em>, p. 45).<\/p>\n

Quant \u00e0 l\u2019utilisation apparemment facilitante du proc\u00e9d\u00e9 de mettre en m\u00eame temps une perle apr\u00e8s l\u2019autre dans chacun des deux verres, si les deux verres sont de forme identique, l\u2019enfant pourra certes commencer par justifier l\u2019\u00e9galit\u00e9 en r\u00e9pondant, \u00e0 la mani\u00e8re de Coc (5 ans) : \u00ab parce qu\u2019on met les deux \u00bb (expression sous-entendant que l\u2019exp\u00e9rimentateur (E) et lui-m\u00eame ont mis en m\u00eame temps les \u00e9l\u00e9ments un \u00e0 un dans les deux verres, mais pour peut-\u00eatre imm\u00e9diatement ajouter \u00ab non, parce que les deux verres sont la m\u00eame chose \u00bb (id<\/em>., p. 47), en portant attention non plus \u00e0 la suite d\u2019action simultan\u00e9e (\u00ab on a mis en m\u00eame temps \u00bb), mais \u00e0 son r\u00e9sultat (\u00ab les verres sont la m\u00eame chose \u00bb et le niveau atteint est le m\u00eame), perceptivement plus pr\u00e9gnant et renfor\u00e7ant l\u2019id\u00e9e d\u2019\u00e9galit\u00e9. Une telle pr\u00e9gnance de la perception des formes spatiales sera confirm\u00e9e aussit\u00f4t qu\u2019il s\u2019agira de se prononcer dans une situation o\u00f9 les deux verres seront de forme diff\u00e9rente. Le m\u00eame enfant Coc n\u2019h\u00e9sitera pas une seconde \u00e0 soutenir qu\u2019il y a plus dans L que dans P (A ayant \u00e9t\u00e9 transvas\u00e9 dans L en m\u00eame temps que B l\u2019\u00e9tait dans P) \u00ab parce que c\u2019est tout petit (=plus allong\u00e9) et ici (dans P), c\u2019est plus gros \u00bb.<\/p>\n

A un deuxi\u00e8me stade<\/em> (= interm\u00e9diaire), les r\u00e9ponses des enfants se font h\u00e9sitantes ou, autre indice, oscillent selon que la centration<\/em> ou leur attention<\/em> se portent sur tel ou tel \u00e9l\u00e9ment de la situation (par exemple sur l\u2019une ou l\u2019autre caract\u00e9ristique des r\u00e9cipients, ou encore sur un possible retour au point de d\u00e9part, sur le souvenir de ce point de d\u00e9part, sur le proc\u00e9d\u00e9 de correspondance terme \u00e0 terme, etc.), ces d\u00e9placements d\u2019attention entra\u00eenant des modifications dans les r\u00e9ponses donn\u00e9es \u00e0 la question de conservation ou non de l\u2019\u00e9galit\u00e9 num\u00e9rique, donc du nombre. Cette \u00e9vocation changeante de diff\u00e9rents aspects de la situation pourra les conduire \u00e0 ne plus affirmer aussi franchement la non-conservation, troubler qu\u2019ils peuvent \u00eatre par les possibles qui s\u2019ouvrent \u00e0 eux, les contradictions qui peuvent en r\u00e9sulter, voire m\u00eame les conduire \u00e0 formuler des r\u00e9ponses peu s\u00fbres de conservation.<\/p>\n

Si, par exemple, apr\u00e8s une r\u00e9ponse impliquant la non-conservation, l\u2019exp\u00e9rimentateur (E) demande ce qui se passera si les perles de chacun des deux r\u00e9cipients diff\u00e9rents \u00e9taient utilis\u00e9es pour faire des colliers, les enfants pourront admettre qu\u2019il y aura la m\u00eame chose de perles dans chaque collier, tout en continuant d\u2019admettre qu\u2019il y a plus de perles dans le verre L (pour un exemple, voir Marg 5 \u00bd ans, Gen\u00e8se du nombre<\/em>, pp. 48-49) ! La question sur le collier peut ainsi conduire le sujet du stade II \u00e0 se d\u00e9centrer de l\u2019aspect le plus pr\u00e9gnant perceptivement, \u00e0 savoir le niveau des perles dans chacun des deux verres, pour juger au moins momentan\u00e9ment que \u00ab les deux colliers seront la m\u00eame chose longs \u00bb (Ari, 5 \u00bd ans, id<\/em>., p. 49). De m\u00eame dans le cas o\u00f9 le proc\u00e9d\u00e9 de correspondance terme \u00e0 terme est utilis\u00e9 pour remplir deux verres diff\u00e9rents, Tis (5 ans et 1 mois) soutiendra d\u2019abord que le verre L contient plus de perles ; mais il suffira que (E) lui demande comment ils ont mis les perles dans les verres pour qu\u2019il juge que (E) et lui ont mis la m\u00eame chose \u00ab parce qu\u2019on a mis un chaque fois les deux [= (E) et l\u2019enfant] \u00bb ; mais cette derni\u00e8re affirmation ne se sera pas maintenue, car une simple centration sur les niveaux diff\u00e9rents des deux verres le ram\u00e8nera \u00e0 sa premi\u00e8re affirmation selon laquelle il y a plus de perles l\u00e0 o\u00f9 le niveau est plus haut (id<\/em>., p. 50). <\/a>[3]<\/a><\/p>\n

Enfin, au troisi\u00e8me stade<\/em>, l\u2019enfant est convaincu que le versement des perles dans un verre diff\u00e9rent ne modifie en rien le nombre de perles, et donc qu\u2019il y en a toujours la m\u00eame chose, puisqu\u2019avant c\u2019\u00e9tait la m\u00eame chose, que l\u2019on a rien ajout\u00e9 et rien enlev\u00e9, que l\u2019on a mis en m\u00eame temps, ou encore que le niveau des perles peut certes \u00eatre moins \u00e9lev\u00e9 dans le verre de d\u00e9part, mais comme celui-ci est plus large, ce que l\u2019eau perd en hauteur elle le gagne en largeur.<\/p>\n

Ces arguments sont recueillis lorsque l\u2019exp\u00e9rimentateur demande \u00e0 l\u2019enfant de justifier son affirmation selon laquelle la quantit\u00e9 d\u2019eau ne change pas quand on verse le liquide dans un r\u00e9cipient de forme diff\u00e9rente (moins large et plus haut, par exemple) : l\u2019enfant qui a atteint le niveau op\u00e9ratoire d\u00e9montre par ses r\u00e9ponses qu\u2019il a en vue non seulement l\u2019argument d\u2019identit\u00e9<\/em> pr\u00e9alable (garanti \u00e0 la fois par l\u2019action de correspondance terme \u00e0 terme et par l\u2019identit\u00e9 de forme des verres et de niveau de l\u2019eau), ou l\u2019argument de r\u00e9versibilit\u00e9<\/em> (on peut remettre l\u2019eau dans le r\u00e9cipient de d\u00e9part), mais \u00e9galement l\u2019argument de compensation<\/em> (ce que l\u2019eau perd en hauteur, elle le gagne en hauteur). Les enfants des stades I et II savent bien qu\u2019au d\u00e9part il y a \u00e9galit\u00e9 des quantit\u00e9s et que l\u2019on peut revenir au point de d\u00e9part. De m\u00eame, comme le montrent leurs r\u00e9ponses de non-conservation, ces enfants ne manquent pas de prendre en consid\u00e9ration les changements de forme et de niveau. Mais c\u2019est seulement lorsqu\u2019ils mettent en rapport l\u2019ensemble des variations de niveau et de formes, ainsi que les trois arguments 1\u00b0 d\u2019identit\u00e9 initiale, 2\u00b0 de non modification de la quantit\u00e9 d\u2019eau par ajout ou soustraction d\u2019eau dans l\u2019un des deux verres et 3\u00b0 de compensation des variations de hauteur et de largeur, que les enfants parviennent \u00e0 affirmer sans aucune h\u00e9sitation la conservation de la quantit\u00e9 de perles transf\u00e9r\u00e9es d\u2019un verre de forme A \u00e0 un verre de forme diff\u00e9rente, ceci alors m\u00eame qu\u2019il peut sembler qu\u2019il y en a plus dans l\u2019un ou l\u2019autre de ces verres.<\/p>\n

En conclusion, en plus de montrer que la progression des r\u00e9ponses des enfants d\u2019un stade \u00e0 l\u2019autre dans ce probl\u00e8me de conservation d\u2019une quantit\u00e9 de perles est la m\u00eame que celle des r\u00e9ponses \u00e0 un probl\u00e8me de conservation de quantit\u00e9s physiques (des liquides en l\u2019occurrence), cette exp\u00e9rience est int\u00e9ressante en ce qu\u2019elle illustre le fait que, comme l\u2019ont r\u00e9v\u00e9l\u00e9 les r\u00e9ponses du 2\u00e8me<\/sup> stade, l\u2019action de correspondance terme \u00e0 terme (ou biunivoque), qui joue un r\u00f4le crucial dans les r\u00e9ponses que les math\u00e9maticiens ont apport\u00e9 au probl\u00e8me de l\u2019origine, de la constitution ou encore de la d\u00e9finition du nombre, ne suffit pas \u00e0 elle seule \u00e0 expliquer la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant, quand bien m\u00eame elle peut ponctuellement aider l\u2019enfant \u00e0 se d\u00e9centrer des aspects les plus pr\u00e9gnants et trompeurs livr\u00e9s par la perception. Comme on le verra dans la suite, seuls le regroupement et la synth\u00e8se d\u2019un ensemble d\u2019actions ou de pr\u00e9op\u00e9rations au d\u00e9part non ou insuffisamment reli\u00e9es les unes aux autres permettront \u00e0 l\u2019enfant d\u2019acqu\u00e9rir la notion math\u00e9matique de nombre naturel dont h\u00e9ritera la science arithm\u00e9tique.<\/p>\n

L\u2019\u00e9preuve des \u0153ufs et des coquetiers<\/h5>\n

Contrairement \u00e0 la pr\u00e9c\u00e9dente, cette deuxi\u00e8me \u00e9preuve cible d\u2019embl\u00e9e non seulement le probl\u00e8me de la conservation du nombre, mais celui de la correspondance terme \u00e0 terme dont il s\u2019agit de conna\u00eetre le r\u00f4le exact qu\u2019elle joue dans la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant.<\/p>\n

Dans cette \u00e9preuve, la situation standard \u00e0 laquelle les enfants sont confront\u00e9s est la suivante. De faux coquetiers et de faux \u0153ufs sont plac\u00e9s en vrac sur une table face \u00e0 laquelle se trouvent l\u2019exp\u00e9rimentateur E et l\u2019enfant interrog\u00e9 (les \u0153ufs se trouvent dans un panier). E prend alors un \u00e0 un entre 6 et 10 coquetiers qu\u2019il aligne soigneusement sur la table, \u00e0 un cm environ les uns des autres, tout en disant \u00e0 l\u2019enfant de bien regarder ce qu\u2019il fait. Une fois achev\u00e9e cette action, il demande \u00e0 l\u2019enfant de faire comme lui, et de placer son tour des \u0153ufs pour qu\u2019il y ait la m\u00eame chose d\u2019\u0153ufs (sous entendu : que de coquetiers align\u00e9s sur la table) <\/a>[4]<\/a>. La suite de chaque entretien d\u00e9pend, comme on va le voir, de la conduite adopt\u00e9e par les enfants et qui varie d\u2019un stade \u00e0 l\u2019autre.<\/p>\n

R\u00e9sultats<\/h6>\n

Stade I<\/em>. \u2014 Les r\u00e9sultats sont tr\u00e8s spectaculaires et significatifs. Lors du premier stade, aucun usage n\u2019est fait de la correspondance terme \u00e0 terme. Suite \u00e0 la demande de mettre la m\u00eame chose d\u2019\u0153ufs qu\u2019il y a de coquetiers, les enfants les plus jeunes (4 ans environ) placent certes un \u00e0 un les \u0153ufs devant les coquetiers en faisant en sorte que la ligne des \u0153ufs soit \u00e9gale \u00e0 celle des coquetiers, mais en les serrant les uns contre les autres de telle sorte que leur nombre est plus grand que celui des coquetiers :<\/p>\n

\"JJ_Neuch_cours9_img_01\"<\/a><\/p>\n

Apr\u00e8s avoir demand\u00e9 \u00e0 l\u2019enfant s\u2019il est s\u00fbr de sa r\u00e9ponse et que celui-ci a r\u00e9pondu affirmativement, l\u2019E lui demande alors de mettre les \u0153ufs dans les coquetiers. Les enfants reconnaissent alors qu\u2019ils se sont tromp\u00e9s et qu\u2019il y a plus d\u2019\u0153ufs. Une fois les \u0153ufs en surplus remis dans le panier, et que cela fait, les enfants reconnaissent qu\u2019il y a la m\u00eame chose d\u2019\u0153ufs que de coquetiers (puisque chaque coquetier contient un \u0153uf et que chaque \u0153uf se trouve dans un coquetier, donc qu\u2019il y a correspondance biunivoque au moins perceptive entre les deux collections), vient la question d\u00e9cisive concernant la ma\u00eetrise ou non de la conservation du nombre.<\/p>\n

L\u2019E sort un \u00e0 un les \u0153ufs des coquetiers (ou les fleurs des vases) pour les placer un \u00e0 un sur une ligne devant ces derniers, mais soit en les serrant les uns contre les autres, soit en laissant entre eux un \u00e9cart plus grand que celui existant entre les coquetiers. La r\u00e9ponse des enfants de ce stade est claire : pour eux, il y a plus d\u2019\u00e9l\u00e9ments l\u00e0 o\u00f9 la s\u00e9rie est la plus allong\u00e9e. C\u2019est donc sur une propri\u00e9t\u00e9 spatiale particuli\u00e8rement pr\u00e9gnante que les enfants font reposer leur jugement, et il suffit d\u2019alors de modifier la disposition des \u00e9l\u00e9ments de mani\u00e8re \u00e0 rendre pr\u00e9gnante cette propri\u00e9t\u00e9 pour qu\u2019ils formulent un jugement impliquant la non-conservation du nombre. Cette pr\u00e9gnance de la perception spatiale est m\u00eame si forte que si E demande aux enfants s\u2019il y a assez d\u2019\u0153ufs pour remplir les coquetiers (ou inversement, selon la r\u00e9ponse pr\u00e9alable des enfants, s\u2019il y a assez de coquetiers pour pouvoir y mettre tous les \u0153ufs), ils r\u00e9pondent par la n\u00e9gative ou en affirmant qu\u2019ils ne savent pas, ce qui confirme que pour eux la quantit\u00e9 d\u2019\u0153ufs a chang\u00e9 ou est susceptible de changer lorsqu\u2019on les \u00e9loigne ou les rapproche les uns des autres.<\/p>\n

Une \u00e9preuve compl\u00e9mentaire permet \u00e9galement de corroborer ce primat de la perception spatiale dans une \u00e9preuve portant sur la quantit\u00e9 num\u00e9rique. Dans cette \u00e9preuve, E aligne (par exemple) 7 coquetiers les uns \u00e0 c\u00f4t\u00e9 des autres, puis 4 \u0153ufs devant les coquetiers, mais de mani\u00e8re \u00e0 ce que le premier et le dernier de chaque collection soient align\u00e9s sur le premier et le dernier des \u00e9l\u00e9ments de l\u2019autre collection.<\/p>\n

\"JJ_Neuch_cours9_img_02\"<\/a><\/p>\n

En r\u00e9ponse \u00e0 cette nouvelle question portant sur l\u2019\u00e9galit\u00e9 ou non des deux collections ainsi dispos\u00e9es, les enfants de ce premier stade r\u00e9pondront, comme Zu (4 ans et 9 mois) <\/a>[5]<\/a>, qu\u2019il y a la m\u00eame chose d\u2019\u0153ufs que de coquetiers et seront tout \u00e9tonn\u00e9s de constater ensuite que les 4 \u0153ufs ne suffisent pas \u00e0 remplir chacun des coquetiers.<\/p>\n

Ce que montrent ces quelques exemples, c\u2019est que, quand bien m\u00eame elle n\u2019est pas spontan\u00e9ment utilis\u00e9e au d\u00e9part pour \u00e9tablir l\u2019\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e, il y a bien chez ces enfants un d\u00e9but d\u2019utilisation de la correspondance terme \u00e0 terme pour juger de l\u2019\u00e9galit\u00e9 ou de la non \u00e9galit\u00e9 num\u00e9rique de deux collections d\u2019objets, mais que cette correspondance n\u2019est pas strictement num\u00e9rique, puisqu\u2019elle n\u2019est plus reconnue d\u00e8s qu\u2019il y a suppression de la correspondance perceptive. En d\u2019autres termes, s\u2019il y a bien une certaine notion de quantit\u00e9 num\u00e9rique chez ces enfants, cette notion n\u2019est pas suffisamment d\u00e9tach\u00e9e de la perception de l\u2019espace occup\u00e9 par chacune des collections compar\u00e9es pour leur permettre de r\u00e9sister \u00e0 ce que sugg\u00e8re la centration sur les caract\u00e9ristiques spatiales, et en particulier sur la seule correspondance ou absence de correspondance optique entre les fronti\u00e8res des deux alignements.<\/p>\n

Stade II.<\/em> \u2014 A la diff\u00e9rence des enfants du 1er<\/sup> stade, les enfants du 2e<\/sup> stade prennent davantage en consid\u00e9ration l\u2019action de correspondance terme \u00e0 terme, et non pas seulement la correspondance perceptive, dans leur jugement sur la conservation ou non conservation de la quantit\u00e9 d\u2019\u00e9l\u00e9ments composant une collection soumise \u00e0 des transformations spatiales. Invit\u00e9s \u00e0 mettre la m\u00eame chose d\u2019\u0153ufs qu\u2019il y a de coquetiers, ils placent en effet spontan\u00e9ment un \u0153uf devant chaque coquetier. Mais \u00e0 nouveau, et comme au premier stade, il suffira que l\u2019E \u00e9carte ou resserre l\u2019une des deux rang\u00e9es pour que l\u2019enfant du 2e<\/sup> stade juge que la plus longue des deux contient plus d\u2019\u00e9l\u00e9ments.<\/a>[6]<\/a> Cependant, si l\u2019on demande ensuite \u00e0 cet enfant ce qui se passerait si l\u2019on remettait les \u0153ufs (ou les coquetiers) comme il les avait plac\u00e9s au d\u00e9part, il r\u00e9pondra sans h\u00e9siter qu\u2019il y aura \u00e0 nouveau la m\u00eame chose d\u2019\u00e9l\u00e9ments dans les deux collections, puisqu\u2019avant il en avait mis la m\u00eame chose (par correspondance terme \u00e0 terme) et que depuis, on n\u2019en a ni ajouter ni enlever. Par contre, si le m\u00eame enfant est invit\u00e9 \u00e0 compter le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ment de chacun des deux collections, il pourra faire en sorte que le nombre auquel il arrive pour l\u2019une des deux collections s\u2019ajuste \u00e0 sa r\u00e9ponse de non-conservation (donc sauter un \u00e9l\u00e9ment dans l\u2019une des deux collections, ou au contraire compter deux fois un \u00e9l\u00e9ment, et ainsi arriver par exemple \u00e0 7 en pointant du doigt le dernier \u00e9l\u00e9ment d\u2019une des deux collections, et \u00e0 8 pour le dernier \u00e9l\u00e9ment de la deuxi\u00e8me collection) ! <\/a>[7]<\/a> Ce qui implique que, l\u00e0 encore, il y a indiff\u00e9renciation relative de la quantit\u00e9 arithm\u00e9tique par rapport \u00e0 une quantit\u00e9 spatiale, en l\u2019occurrence la longueur des rang\u00e9es.<\/p>\n

Toujours chez l\u2019enfant du 2e<\/sup> stade, il peut arriver qu\u2019en cours d\u2019entretien il juge momentan\u00e9ment que les quantit\u00e9s restent \u00e9gales apr\u00e8s modification spatiale de la longueur de l\u2019une des rang\u00e9es. C\u2019est le cas dans les situations qui, comme celle des \u0153ufs et des coquetiers, tendent \u00e0 faciliter la repr\u00e9sentation de la correspondance terme \u00e0 terme, et donc la centration sur celle-ci, ou lorsque l\u2019enfant utilise le proc\u00e9d\u00e9 de comptage appris en famille ou \u00e0 l\u2019\u00e9cole (pour les jeunes enfants scolaris\u00e9s), un proc\u00e9d\u00e9 dont on remarquera d\u2019ailleurs qu\u2019il repose lui aussi sur une correspondance terme \u00e0 terme entre un \u00e9l\u00e9ment per\u00e7u et un \u00e9l\u00e9ment \u00e9nonc\u00e9. C\u2019est le cas par exemple de Os (5 ans 10 mois) qui compte 10 vases align\u00e9s par l\u2019exp\u00e9rimentateur E, puis qui compte 10 fleurs en m\u00eame temps qu\u2019il les met une \u00e0 une dans les vases (voir Gen\u00e8se du nombre<\/em>, p. 74). Lorsque E, apr\u00e8s avoir sorti et entass\u00e9 toutes les fleurs que Os vient de mettre dans chaque vase (une par vase), demande \u00e0 l\u2019enfant s\u2019il y a la m\u00eame chose ou plus ou moins, celui-ci commence par r\u00e9pondre la m\u00eame chose \u00ab parce qu\u2019il y a 10 fleurs et 10 vases \u00bb. Le comptage prime la mesure bas\u00e9e sur les propri\u00e9t\u00e9s spatiales. Mais il suffit cependant que E resserre un peu les vases les uns contre les autres et \u00e9carte les fleurs pour que Os modifie sa r\u00e9ponse et affirme qu\u2019il y a moins de vases. Les caract\u00e9ristiques spatiales redeviennent le crit\u00e8re sur lequel l\u2019enfant base sa r\u00e9ponse. Une telle oscillation du jugement est tout \u00e0 fait typique des r\u00e9ponses des enfants du 2e<\/sup> stade. La suite de l\u2019entretien avec Os confirme cette insuffisante diff\u00e9renciation entre quantit\u00e9 num\u00e9rique et quantit\u00e9 spatiale.<\/p>\n

En effet, E donne une deuxi\u00e8me collection de fleurs \u00e0 l\u2019enfant, cette fois des fleurs non plus bleues mais roses (les fleurs bleues pr\u00e9c\u00e9demment compt\u00e9es restant align\u00e9es et \u00e9cart\u00e9es les unes des autres sur la table). Comme pr\u00e9c\u00e9demment, il demande \u00e0 l\u2019enfant de mettre la m\u00eame chose de ces fleurs roses qu\u2019il y a de vases, et Os proc\u00e8de comme il l\u2019a fait auparavant, c\u2019est-\u00e0-dire en comptant de 1 \u00e0 10 en m\u00eame temps qu\u2019il met une fleur rose apr\u00e8s l\u2019autre dans chaque vase. E sort alors ces fleurs roses et les \u00e9tale devant les vases toujours resserr\u00e9s les uns contre les autres, puis il demande \u00e0 l\u2019enfant s\u2019il y a la m\u00eame chose ou non de fleurs roses et de fleurs bleues. Os r\u00e9pond affirmativement en justifiant l\u2019\u00e9galit\u00e9 par le fait qu\u2019il y en a \u00ab 10 ici et 10 l\u00e0 \u00bb. Mais interrog\u00e9s sur le fait de savoir s\u2019il y a la m\u00eame chose de fleurs roses ou de vases, il r\u00e9pond \u00e0 nouveau par la n\u00e9gative, alors m\u00eame qu\u2019il vient de formuler les chiffres de 1 \u00e0 10 en mettant les fleurs roses une \u00e0 une dans chaque vase. On voit ici tr\u00e8s clairement que le fait de savoir compter ne suffit pas \u00e0 formuler un jugement num\u00e9rique exact quant \u00e0 la quantit\u00e9 de vases dans l\u2019ensemble que ceux-ci composent. On reviendra sur cette question dans la suite.<\/p>\n

Stade 3<\/em>. \u2014 Ce stade se caract\u00e9rise par la ma\u00eetrise incontestable de la conservation des quantit\u00e9s num\u00e9riques, en m\u00eame temps que la correspondance terme \u00e0 terme acqui\u00e8re une nouvelle signification : non seulement elle est d\u2019embl\u00e9e utilis\u00e9e par les enfants de ce stade (que ce soit directement ou par comptage) pour construire une collection d\u2019\u00e9l\u00e9ments ayant la m\u00eame chose d\u2019\u00e9l\u00e9ments qu\u2019une collection d\u00e9j\u00e0 constitu\u00e9e, mais en plus elle devient pleinement logique et non plus empirique en ce sens que, une fois constat\u00e9e, ses cons\u00e9quences logiques quant \u00e0 la quantit\u00e9 d\u2019\u00e9l\u00e9ments que contient une collection ne peuvent \u00eatre annul\u00e9es par la suppression de la correspondance terme \u00e0 terme perceptive ou figurale. En raison du sens d\u00e9finitivement purement arithm\u00e9tique qu\u2019il donne \u00e0 leur usage de la correspondance terme \u00e0 terme, ces enfants r\u00e9sistent sans probl\u00e8me \u00e0 toute suggestion perturbante de l\u2019exp\u00e9rimentateur cherchant \u00e0 valoriser les modifications d\u2019une quantit\u00e9 spatiale syst\u00e9matiquement utilis\u00e9e par les enfants plus jeunes pour affirmer la non-conservation d\u2019une quantit\u00e9 d\u2019\u00e9l\u00e9ments d\u2019une collection lorsque cette collection n\u2019appara\u00eet plus correspondre terme \u00e0 terme au mod\u00e8le de d\u00e9part.<\/p>\n

Ainsi, lorsque l\u2019exp\u00e9rimentateur E, reprenant les arguments par lesquels un enfant du 1er<\/sup> ou du 2 stade peut justifier son jugement d\u2019in\u00e9galit\u00e9 des quantit\u00e9s num\u00e9riques de deux collections dont ils viennent d\u2019affirmer l\u2019\u00e9galit\u00e9, sugg\u00e8re qu\u2019il pourrait y avoir \u00ab plus de coquetiers parce que la rang\u00e9e qu\u2019ils forment est plus longue que celle des \u0153ufs \u00bb (ou l\u2019inverse), les enfants du 3e<\/sup> stade rejettent aussit\u00f4t un tel argument en notant que si, en effet, telle collection est plus longue que l\u2019autre, ce fait est compens\u00e9 par cet autre fait que la seconde collection a des \u00e9l\u00e9ments plus resserr\u00e9s les uns contre les autres. Et ils savent que la seule fa\u00e7on de modifier quantitativement une collection d\u2019\u00e9l\u00e9ments est de lui ajouter ou de lui enlever un ou plusieurs \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

Jusqu\u2019\u00e0 maintenant, les exp\u00e9riences concernaient la quantit\u00e9 num\u00e9rique, c\u2019est-\u00e0-dire le nombre cardinal de collections et du r\u00f4le jou\u00e9 par la correspondance terme \u00e0 terme dans la comparaison entre les quantit\u00e9s d\u2019\u00e9l\u00e9ments de deux collections ou plus. Voyons maintenant ce qu\u2019il en est du nombre ordinal qui, pour certains math\u00e9maticiens, constitue la base du nombre naturel.<\/p>\n

II. Le nombre ordinal et son lien avec le nombre cardinal<\/h4>\n

Commen\u00e7ons par rappeler le lien \u00e9troit qui existe entre la notion de nombre cardinal et la notion de classe logique, lien qui conduit assez directement \u00e0 la d\u00e9finition par Russell de chacun des nombres cardinaux comme \u00e9tant la classe des classes entre lesquelles une correspondance un \u00e0 un peut \u00eatre \u00e9tablie. Au contraire, et comme son nom le sugg\u00e8re, la notion de nombre ordinal a des liens avec la notion logique de relation asym\u00e9trique, et donc de l\u2019op\u00e9ration logique qui a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9e dans l\u2019avant-dernier cours. Dans ce cours sur la s\u00e9riation logique, nous avions pu d\u00e9couvrir les \u00e9tapes franchies par le sujet pour acqu\u00e9rir la notion de relation asym\u00e9trique, ainsi que l\u2019utilisation de la m\u00e9thode op\u00e9ratoire qui atteste la pleine compr\u00e9hension de cette notion chez le sujet (\u00e0 savoir, prendre r\u00e9cursivement la plus petite \u2014ou la plus grande\u2014 de toutes les baguettes restantes pour la placer \u00e0 la suite de celles d\u00e9j\u00e0 pos\u00e9es).<\/p>\n

Pour \u00e9tudier la gen\u00e8se de la notion de nombre ordinal (ou les notions de 1er<\/sup>, de 2e<\/sup>, etc.), plusieurs \u00e9preuves sont utilis\u00e9es qui toutes reposent sur la notion de correspondance ordinale<\/em> entre deux s\u00e9ries de relations asym\u00e9triques. D\u00e9j\u00e0 dans leur recherche sur le d\u00e9veloppement de la s\u00e9riation logique, Piaget et Szeminska avaient pu mettre en \u00e9vidence le fait suivant : les enfants qui savent r\u00e9soudre op\u00e9ratoirement le probl\u00e8me de la s\u00e9riation des baguettes peuvent simultan\u00e9ment r\u00e9soudre les t\u00e2ches de correspondances ordinales. En effet, si juste apr\u00e8s qu\u2019un enfant vient de s\u00e9rier, en utilisant le proc\u00e9d\u00e9 op\u00e9ratoire d\u00e9crit ci-dessus, une dizaine de poup\u00e9es (P) en bois de hauteur diff\u00e9rente, on lui redonne les m\u00eames poup\u00e9es mais aussi 10 balles B (ou 10 cannes) toutes de grosseur ou hauteur diff\u00e9rente, en lui demandant de faire en sorte que chacune des poup\u00e9es P ait une canne ou un balle B qui corresponde \u00e0 sa hauteur, cet enfant, qui est donc au niveau op\u00e9ratoire, n\u2019aura aucune peine de le faire en utilisant \u00e0 nouveau le proc\u00e9d\u00e9 op\u00e9ratoire qu\u2019il a spontan\u00e9ment utilis\u00e9 pour r\u00e9aliser sa premi\u00e8re s\u00e9riation. Sa d\u00e9marche d\u00e9montre qu\u2019il sait d\u2019embl\u00e9e pouvoir mettre en correspondance s\u00e9riale, par ordre de grandeur, chacun des couples de termes des deux collections (et \u00e9ventuellement d\u2019ailleurs d\u2019\u00e9carter un ou plusieurs termes de la seconde s\u00e9rie, s\u2019il s\u2019av\u00e8re qu\u2019il y a plus de B que de P, ou inversement). \u2014 Quant aux enfants du deuxi\u00e8me stade qui parviennent \u00e0 construire empiriquement, c\u2019est-\u00e0-dire par t\u00e2tonnement, une s\u00e9riation simple, ils pourront de la m\u00eame mani\u00e8re trouver les \u00e9l\u00e9ments de la 2e<\/sup> s\u00e9rie d\u2019objets correspondant aux \u00e9l\u00e9ments de la 1\u00e8re<\/sup>, progressivement guid\u00e9s qu\u2019ils sont par la correspondance visuelle entre les \u00e9l\u00e9ments des deux s\u00e9ries.<\/p>\n

Si avec la t\u00e2che pr\u00e9c\u00e9dente, on reste donc dans le contexte de la seule s\u00e9riation asym\u00e9trique logique (ou pr\u00e9logique), qu\u2019elle soit simple ou qu\u2019elle fasse intervenir une correspondance visuelle entre les \u00e9l\u00e9ments de deux s\u00e9ries ou plus, une simple complication du probl\u00e8me va permettre de r\u00e9v\u00e9ler le parall\u00e9lisme entre le d\u00e9veloppement de la s\u00e9riation logique et l\u2019acquisition de la notion de nombre ordinal. Voil\u00e0 cette complication :<\/p>\n

Apr\u00e8s qu\u2019un enfant a r\u00e9ussit \u00e0 construire par un proc\u00e9d\u00e9 empirique ou au contraire op\u00e9ratoire une double s\u00e9riation du genre de celle dont nous venons de prendre connaissance, l\u2019(E) peut \u00e9carter l\u2019une des deux s\u00e9ries de P et resserrer l\u2019autre (= B) puis ceci fait demander \u00e0 cet enfant \u00e0 quel poup\u00e9e P correspond alors telle ou telle balle B.<\/p>\n

\"Fig.<\/a>
Fig. 3<\/figcaption><\/figure>\n

Or les r\u00e9sultats sont nets : les enfants qui n\u2019ont d\u2019autres moyens que le t\u00e2tonnement empirique pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me de correspondance s\u00e9riale ne parviennent pas \u00e0 retrouver dans la s\u00e9rie B le correspondant d\u2019un \u00e9l\u00e9ment quelconque de la s\u00e9rie P. Voil\u00e0 un exemple du type de comportement que peut manifester un enfant parvenu au 2e<\/sup> stade de la s\u00e9riation.<\/p>\n

Le stade II<\/em>. Un exemple. \u2014 Apr\u00e8s que Lie (5 \u00bd ans) a s\u00e9ri\u00e9 par t\u00e2tonnement les poup\u00e9es P et \u00e9tabli par le m\u00eame proc\u00e9d\u00e9 empirique la correspondance avec les balles (le r\u00e9sultat n\u2019est pas compl\u00e8tement exact : il y a par exemple interversion des poup\u00e9es P6 et P7), l\u2019exp\u00e9rimentateur (E), apr\u00e8s avoir \u00e9cart\u00e9 les balles, demande \u00e0 l\u2019enfant s\u2019il y a \u00ab encore la m\u00eame chose de balles que de poup\u00e9es \u00bb. Conform\u00e9ment aux r\u00e9ponses du 2e<\/sup> stade, Lie r\u00e9pond : \u00ab il y a plus de balles \u00bb. \u00ab Il y a combien de balles \u00bb, lui demande alors E. \u00ab Dix \u00bb, r\u00e9pond l\u2019enfant apr\u00e8s les avoir compt\u00e9es ; quant aux poup\u00e9es, elles seraient moins que 10, mais Lie reconna\u00eet, apr\u00e8s les avoir \u00e9galement compt\u00e9es, qu\u2019il y en a aussi 10. Vient alors la suite de l\u2019\u00e9change (je cite un extrait) qui se rattache cette fois au probl\u00e8me de la notion de nombre ordinal. E demande \u00e0 Lie :<\/p>\n

\u00ab Alors, pour cette poup\u00e9e (P5) quelle est la balle qui va ? \u2014 (Lie montre B7.) \u2014 Et pour celle-l\u00e0 (P1)? (Il montre B1.) \u00bb Il montre de m\u00eame B10 pour P10, B9 pour P9 ; B8 pour P8, B7 pour P7, mais lorsque l’on saute d’une poup\u00e9e \u00e0 l’autre<\/em>, il montre syst\u00e9matiquement B8 pour P7, B2 pour P3 (parce qu’il a point\u00e9 du doigt les 2 \u00e9l\u00e9ments ant\u00e9rieurs \u00e0 P3, soit P1 et P2), B4 pour P3 (il pointe cette fois les 3 \u00e9l\u00e9ments ant\u00e9rieurs \u00e0 B4 pour trouver la correspondance avec P3), etc.<\/p><\/blockquote>\n

Lorsque l’on reprend la correspondance graduelle de P10 \u00e0 P1, il r\u00e9pond juste (en pointant toujours du doigt), puis lorsque l’on saute \u00e0 nouveau, il retombe dans la m\u00eame erreur syst\u00e9matique. (Voir La gen\u00e8se du nombre<\/em>, p. 147).<\/p>\n

Dans cet exemple, Lie parvient certes \u00e0 d\u00e9signer correctement chaque B correspondant \u00e0 chaque poup\u00e9e de rang P1, P2, etc., mais ceci seulement si l\u2019exp\u00e9rimentateur l\u2019interroge en proc\u00e9dant dans l\u2019ordre P1, P2, etc., alors que si E d\u00e9signe une poup\u00e9e quelconque \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de la s\u00e9rie des P, l\u2019enfant proc\u00e8de en se fiant \u00e0 des approximations (par exemple d\u00e9signer B7 pour P5), ou encore \u00e0 des report de comptage erron\u00e9s.<\/p>\n

Pour trouver sans se tromper l\u2019\u00e9l\u00e9ment correspondant dans la collection des B, la solution la plus simple et qui semble la plus \u00e9vidente serait bien s\u00fbr d\u2019utiliser le nombre cardinal de la s\u00e9rie partielle d\u2019\u00e9l\u00e9ments qui contient la P de tel rang, c\u2019est-\u00e0-dire de tel nombre ordinal. C\u2019est l\u00e0 un proc\u00e9d\u00e9 qui d\u00e9coule imm\u00e9diatement du savoir spontan\u00e9 que nous avons de l\u2019existence d\u2019une correspondance entre nombre cardinal et nombre ordinal. Or Lie, qui a spontan\u00e9ment compt\u00e9 les poup\u00e9es, a certes l\u2019intuition d\u2019un tel proc\u00e9d\u00e9, mais sans v\u00e9ritable ma\u00eetrise op\u00e9ratoire qui seule l\u2019emp\u00eacherait d\u2019identifier le 2 cardinal avec le 3 ordinal).<\/p>\n

D\u2019autres enfants de ce m\u00eame 2e<\/sup> niveau, ne se contentent pas de pointer du doigt les \u00e9l\u00e9ments en jeu, mais les comptent effectivement lorsqu\u2019il s\u2019agit de trouver tel \u00e9l\u00e9ment de l\u2019une des deux s\u00e9ries correspondant \u00e0 tel \u00e9l\u00e9ment de l\u2019autre s\u00e9rie. Ce qui ne les emp\u00eachent pas d\u2019aboutir \u00e0 des solutions incorrectes. C\u2019est le cas par exemple de Chou (7 ans ; voir Gen\u00e8se du nombre<\/em>, p 148) \u00e0 qui l\u2019on demande de trouver l\u2019\u00e9l\u00e9ment correspondant \u00e0 P6 : il compte le nombre cardinal encore tout empirique<\/a>[8]<\/a> (=5) de P qui le pr\u00e9c\u00e8de, mais ensuite compte les 5 premi\u00e8res balles en d\u00e9signant le dernier \u00e9l\u00e9ment de ce d\u00e9compte (soit B5) comme le correspondant de P6.<\/p>\n

En bref, chez l\u2019enfant du deuxi\u00e8me stade, on constate que, faute de coordination op\u00e9ratoire avec ce qui n\u2019est encore qu\u2019un pr\u00e9nombre cardinal, le (pr\u00e9)nombre ordinal d\u2019un \u00e9l\u00e9ment quelconque se perd ou varie d\u00e8s qu\u2019il n\u2019y a plus le support de la perception (le 5e<\/sup> d\u2019une collection non \u00e9cart\u00e9e peut devenir le 7e<\/sup> de la m\u00eame collection dont les \u00e9l\u00e9ments sont simplement un peu plus \u00e9loign\u00e9s les uns des autres etc.). Or un nombre (qu\u2019il soit cardinal ou ordinal) qui varie selon la configuration perceptive, et cela alors m\u00eame que l\u2019enfant sait qu\u2019aucun \u00e9l\u00e9ment n\u2019a \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9 \u00e0 l\u2019ensemble ou \u00e0 la s\u00e9rie en question ne peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme un nombre au sens plein du terme ! C\u2019est la raison pour laquelle Piaget adoptera la solution de qualifier ce nombre d\u2019intuitif, de figural ou d\u2019empirique, par opposition au nombre op\u00e9ratoire qui n\u2019appara\u00eet qu\u2019au 3e<\/sup> stade, avec la ma\u00eetrise des op\u00e9rations les plus simples qui le concernent et qui forment groupe, comme nous allons le voir.<\/p>\n

En bref, toujours, ce 2e<\/sup> stade se caract\u00e9rise \u00e9galement par une absence de lien stable entre les notions de rang et de quantit\u00e9 chez les enfants qui n\u2019ont int\u00e9rioris\u00e9 qu\u2019une forme toute scolaire de d\u00e9nombrement, ou dont le seul proc\u00e9d\u00e9 de r\u00e9solution reste la mise en correspondance perceptive des quantit\u00e9s et des rangs.<\/p>\n

Examinons maintenant les comportements des enfants du 3e<\/sup> stade, en ce qui concerne l\u2019acquisition du nombre ordinal en liaison avec l\u2019acquisition du nombre cardinal.<\/p>\n

Stade III<\/em>. \u2014 D\u00e8s que les enfants parviennent au 3e<\/sup> stade de construction des op\u00e9rations propre \u00e0 la logique des relations asym\u00e9triques et donc \u00e0 r\u00e9soudre sans difficult\u00e9 des probl\u00e8mes de s\u00e9riation, ils parviennent \u00e9galement \u00e0 trouver la juste correspondance ordinale entre une poup\u00e9e quelconque du probl\u00e8me pr\u00e9c\u00e9demment d\u00e9crit et la balle qui lui convient, et ceci en recourant au nombre cardinal de la s\u00e9rie partielle dont cette poup\u00e9e est le dernier \u00e9l\u00e9ment (et donc en comptant le nombre cardinal de la s\u00e9rie des nombres ordinaux qui aboutit au ni\u00e8me<\/sup> rang occup\u00e9 par la poup\u00e9e dont il s\u2019agit de trouver la balle qui lui correspond). Ils sont alors guid\u00e9s par leur notion op\u00e9ratoire (et non plus empirique ou intuitive) de nombre, dont on verra un peu plus loin qu\u2019elle est toujours double, car combinant les op\u00e9rations de classification et de s\u00e9riation. Examinons donc quelques exemples de comportement de 3e<\/sup> stade, en commen\u00e7ant par le cas de Bos, un enfant de 6 ans et demi qui est confront\u00e9 \u00e0 un probl\u00e8me de correspondance ordinale apr\u00e8s avoir mis en correspondance la s\u00e9rie croissante des poup\u00e9es P et des balles B et apr\u00e8s que l\u2019exp\u00e9rimentateur E a \u00e9cart\u00e9 les balles et ainsi bris\u00e9 la correspondance visuelle entre chaque pair d\u2019\u00e9l\u00e9ments successifs des deux s\u00e9ries. Voil\u00e0 un extrait du protocole tel qu\u2019on peut le lire \u00e0 la p. 153 de La gen\u00e8se du nombre <\/em>:<\/p>\n

\u00ab Cette balle (B8) est \u00e0 qui ? (Bos montre P8.) \u2014 Comment tu sais ? \u2014 Je vois les 3<\/em> (B10, 9 et 8), et l\u00e0 aussi<\/em> (P10, 9 et 8). \u2014 Et celle-ci (B6) ? \u2014 A celle-l\u00e0<\/em> (P6), parce qu’avant il y avait 8 et c’est saut\u00e9 \u00e0 6<\/em> (il a donc compt\u00e9 les balles 1-6). \u2014 Qu’est-ce qu’on a fait ? \u2014 Avant il y avait 3<\/em> (10, 9 et 8),\u00a0et maintenant on a saut\u00e9 \u00e0 5<\/em> (il compte cette fois les balles 10, 9, 8, 7, 6 et les poup\u00e9es 10-6 et montre \u00e0 nouveau P6 et B6). \u00bb<\/p><\/blockquote>\n

On voit bien avec cet exemple comment l\u2019enfant de niveau op\u00e9ratoire recourt imm\u00e9diatement au nombre cardinal pour trouver le ni\u00e8me<\/sup> \u00e9l\u00e9ment demand\u00e9 (et donc pour r\u00e9soudre une probl\u00e8me ordinal).<\/p>\n

Il en va de m\u00eame dans une deuxi\u00e8me \u00e9preuve lors de laquelle les s\u00e9ries ne sont pas disjointes, mais simplement pr\u00e9sent\u00e9es en ordre inverse l\u2019une par rapport \u00e0 l\u2019autre. Le m\u00eame sujet n\u2019a aucune peine \u00e0 retrouver, par comptage, le ni\u00e8me<\/sup> \u00e9l\u00e9ment depuis la droite de la s\u00e9rie invers\u00e9e lorsqu\u2019on lui d\u00e9signe le ni\u00e8me<\/sup> \u00e9l\u00e9ment depuis la gauche de la s\u00e9rie non-invers\u00e9e.<\/a>[9]<\/a><\/p>\n

Dans les faits donc, m\u00eame si, consid\u00e9r\u00e9 sous l\u2019angle purement logique, il est possible (voir B. Russell par ex.) de livrer deux d\u00e9finitions ind\u00e9pendantes du nombre cardinal et du nombre ordinal, de fait, pour r\u00e9soudre n\u2019importe que probl\u00e8me dans lequel il s\u2019agit soit de trouver le nombre ordinal de l\u2019un des \u00e9l\u00e9ments d\u2019une s\u00e9rie, soit de trouver le nombre cardinal d\u2019une collection, le sujet ne peut pas, en g\u00e9n\u00e9ral, ne pas tenir compte du caract\u00e8re \u00e0 la fois ordinal et cardinal de la s\u00e9rie des nombres naturels lorsqu\u2019il s\u2019agit de trouver le nombre cardinal d\u2019une collection d\u2019\u00e9l\u00e9ments ou le nombre ordinal d\u2019un \u00e9l\u00e9ment d\u2019une s\u00e9rie ! Seules exceptions que nous avons rencontr\u00e9es dans le contexte des anciens travaux sur la psychologie du nombre chez l\u2019animal : les cas o\u00f9 il y a une correspondance figurative ais\u00e9ment reconnaissable entre de petites collections (4 objets d\u2019une premi\u00e8re collection et 4 autres objets d\u2019une autre collection par exemple), ou une correspondance de rang entre les \u00e9l\u00e9ments de petites s\u00e9ries entre lesquelles une telle correspondance peut ais\u00e9ment \u00eatre \u00e9tablie (par exemple entre une premi\u00e8re s\u00e9rie de 4 sons qui se succ\u00e8dent et une autre s\u00e9rie de 4 sons), exceptions que l\u2019on retrouve dans de r\u00e9centes exp\u00e9riences au cours desquelles des chercheurs ont cru pouvoir contredire Piaget en montrant que de jeunes enfants et m\u00eame des b\u00e9b\u00e9s se montrent surpris lorsque, apr\u00e8s avoir vu 3 poup\u00e9es venir se cacher derri\u00e8re un \u00e9cran, ils n\u2019en voient plus que deux lorsque l\u2019\u00e9cran est lev\u00e9. <\/a>[10]<\/a><\/p>\n

Ce que semblent d\u00e9montrer ces derni\u00e8res exp\u00e9riences, c\u2019est l\u2019existence d\u2019une connaissance inn\u00e9e \u00e9l\u00e9mentaire de la num\u00e9rosit\u00e9. Une telle existence s\u2019explique d\u2019ailleurs ais\u00e9ment : il est utile \u00e0 la survie animale de percevoir le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments d\u2019une collection d\u2019objets per\u00e7us. Mais, \u00e0 moins que l\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 ait pourvu telle ou telle esp\u00e8ce d\u2019un compteur inn\u00e9 d\u2019\u00e9l\u00e9ments, l\u2019arithm\u00e9tique disons animale se limite \u00e0 1, 2, 3, 4, et ceci sans conservation op\u00e9ratoire, puisque chacune de ces num\u00e9rosit\u00e9s se diluent dans le beaucoup lorsque les collections pr\u00e9sent\u00e9es ne se limitent pas \u00e0 1 ou 2, ou 3, ou 4 ou peut-\u00eatre 5 \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

Cette connaissance pr\u00e9num\u00e9rique fournit certainement un point de d\u00e9part au construction du jeune enfant, mais celui-ci aura bien du chemin \u00e0 faire pour parvenir \u00e0 cette notion de nombre entier sous son double aspect de cardinal et d\u2019ordinal, dont les exp\u00e9riences classiques de Piaget et de Szeminska expos\u00e9es d\u00e8s 1941 dans La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant<\/em> ont permis de retracer les principales \u00e9tapes. Ces exp\u00e9riences ont ult\u00e9rieurement \u00e9t\u00e9 compl\u00e9t\u00e9es par de nouvelles recherches r\u00e9alis\u00e9es cette fois au Centre international d\u2019\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique (cr\u00e9\u00e9, comme on l\u2019a vu, au milieu des ann\u00e9es 1950). Une premi\u00e8re s\u00e9rie de ces recherches compl\u00e9mentaires s\u2019est d\u00e9roul\u00e9es dans les ann\u00e9es 1950 et au d\u00e9but des ann\u00e9es 1960. Cette premi\u00e8re s\u00e9rie \u00e0 permis de r\u00e9viser, d\u2019affiner et de compl\u00e9ter les recherches des ann\u00e9es 1930. Une nouvelle s\u00e9rie a \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9e dans les ann\u00e9es 1970, ceci dans le contexte des \u00e9tudes non plus sur la gen\u00e8se des cat\u00e9gories de base de la connaissance (dont le nombre), mais sur les m\u00e9canismes de construction des structures op\u00e9ratoires sous-tendant le fonctionnement de ces cat\u00e9gories (par exemple, l\u2019\u00e9tude du m\u00e9canisme d\u2019abstraction r\u00e9fl\u00e9chissante <\/a>[11]<\/a> permettant de passer d\u2019une \u00e9tape \u00e0 une autre, m\u00e9canisme qui lui-m\u00eame passe par diff\u00e9rentes \u00e9tapes).<\/p>\n

Avant de conclure ce cours sur la construction du nombre, il vaut la peine de s\u2019arr\u00eater sur deux recherches des ann\u00e9es 1950 r\u00e9alis\u00e9es par Pierre Gr\u00e9co, l\u2019un des plus proches collaborateurs de Piaget, dans la mesure o\u00f9 elles mettent en \u00e9vidence des aspects de cette construction jusque-l\u00e0 rest\u00e9s dans l\u2019ombre.<\/p>\n

B. Recherches compl\u00e9mentaires<\/h3>\n

1. L\u2019arithm\u00e9tisation progressive de la s\u00e9rie des nombres naturels<\/h4>\n

Plusieurs exp\u00e9riences conduites au CIEG dans les ann\u00e9es 1950 montrent comment l\u2019enfant de 6-7 ans environ, qui ma\u00eetrise op\u00e9ratoirement le nombre jusqu\u2019\u00e0 8 ou 9 environ, ne parvient pas imm\u00e9diatement \u00e0 g\u00e9n\u00e9raliser ses jugements sur les propri\u00e9t\u00e9s des nombres (dont la conservation) au-del\u00e0 de ce nombre. Ceci prolonge dans une certaine mesure les oscillations de jugement que l\u2019on peut constater au deuxi\u00e8me stade de la gen\u00e8se du nombre d\u00e9crit pr\u00e9c\u00e9demment. En d\u2019autres termes, la notion de nombre op\u00e9ratoire fraichement acquise par l\u2019enfant de 6-7 ans est refoul\u00e9e d\u00e8s que les propri\u00e9t\u00e9s spatiales deviennent \u00e0 nouveau pr\u00e9gnante en raison du nombre plus \u00e9lev\u00e9 d\u2019\u00e9l\u00e9ments d\u2019une collection. Ce sont les r\u00e9sultats de telles exp\u00e9riences, dont celle mise en \u0153uvre par Pierre Gr\u00e9co sur \u00ab Les diff\u00e9rences de deux \u00bb<\/a>[12]<\/a> qui ont conduit Piaget \u00e0 parler d\u2019arithm\u00e9tisation progressive<\/em> de la suite des nombres naturels.<\/p>\n

Le probl\u00e8me pos\u00e9 aux enfants dans cette exp\u00e9rience est le suivant (ce probl\u00e8me a \u00e9t\u00e9 sugg\u00e9r\u00e9 par Piaget). La premi\u00e8re partie d\u2019une s\u00e9rie A, B, C, D, etc. de collections de jetons est construite par l\u2019enfant avec l\u2019aide de l\u2019exp\u00e9rimentateur. Par exemple, un enfant peut construire la suite de collections : A = 4 jetons, puis B = 5 jetons, puis C = 6, etc., jusqu\u2019\u00e0 une collection E de 8 jetons, ou H de 11 jetons. L\u2019exp\u00e9rimentateur construit la fin de la s\u00e9rie sur le m\u00eame principe, ceci \u00e0 partir de la collection L (= 15 jetons dans cet exemple). Un vide est laiss\u00e9 entre la partie construite par l\u2019enfant et celle r\u00e9alis\u00e9e par l\u2019adulte.<\/p>\n

\"Fig.<\/a>
Fig. 4<\/figcaption><\/figure>\n

Apr\u00e8s que l\u2019exp\u00e9rimentateur se soit assur\u00e9 que l\u2019enfant a bien compris le principe de construction des deux parties de la s\u00e9rie, il le confronte au probl\u00e8me suivant : trouver combien de jetons il faut ajouter \u00e0 telle ou telle collection (par exemple A) de la s\u00e9rie pour que cette collection ait le m\u00eame nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments que la collection qui se trouve deux rangs plus loin dans la s\u00e9rie (dans cet exemple : C).<\/p>\n

Voil\u00e0 l\u2019extrait d\u2019un entretien au cours un enfant, Mick (5 ans et 7 mois), est confront\u00e9 \u00e0 ce probl\u00e8me :<\/p>\n

[L\u2019exp\u00e9rimentateur d\u00e9signe A \u00e0 Mick, et lui demande combien il faut ajouter de jetons \u00e0 A pour avoir la m\u00eame chose dans les collection A et C. L\u2019enfant r\u00e9pond tout \u00e0 fait correctement : \u00ab ben, deux de plus \u00bb \u2026 Et voil\u00e0 la suite du protocole telle qu\u2019on la trouve \u00e0 la page 176 de Probl\u00e8mes de construction du nombre <\/em>:]<\/p>\n

\u00ab Et pourquoi? \u2014 Parce que l\u00e0 c’est 4, et l\u00e0 6<\/em>. \u2014 Et comment tu sais que c’est 4, ici [A] ? \u2014 Je le vois<\/em>. \u2014 Et ici [C] ? \u2014 6<\/em> \u2014 Comment tu sais? \u2014 Je compte: 4, 5, 6<\/em> (il montre successivement A, B, C). \u2014 Bien, et si on prend celui-ci [B] et puis, pas celui d’apr\u00e8s, mais celui qui vient encore apr\u00e8s [D]? \u2014 2 aussi<\/em>. \u2014 Pourquoi? \u2014 Parce que c’est 5, et l\u00e0<\/em> [D] 7<\/em> (exact). \u2014 Et avec [C] et [E] ? Encore 2, parce qu’on saute toujours un paquet<\/em> (on ne peut obtenir d’explication plus pr\u00e9cise).<\/p>\n

\u2014 Bon, on va en prendre par l\u00e0 (gde s\u00e9rie) : maintenant je prends [L], et puis on saute [M] et on prend [N] (\u2026[combien faut-il ajouter de jetons ?]\u2026). \u2014 3<\/em><\/strong>.<\/strong> \u2014 Pourquoi 3 ? \u2014 (geste d’ignorance). \u2014 (On v\u00e9rifie et il reconna\u00eet avec quelque d\u00e9sappointement:) Ah! non, \u00e7a fait encore 2 <\/em><\/strong>!
\n\u2014 \u00c7a t’\u00e9tonne? \u2014 (Silence, puis:) On avait saut\u00e9 des paquets<\/em> (se rapporte sans doute \u00e0 l’interruption entre E et L, et non au paquet M \u00ab saut\u00e9 \u00bb). \u2014 Et maintenant [M] et [O] ? \u2014 3<\/em><\/strong> ! \u2014 Pourquoi? \u2014 Parce qu’il y a beaucoup<\/em>. \u2014 O\u00f9? \u2014 L\u00e0<\/em> [M] et l\u00e0<\/em> [O]. \u2014 (Apr\u00e8s v\u00e9rification, d\u00e9ception, puis enthousiasme de d\u00e9couverte.) Et pour [N] et [P] ? \u2013 4<\/em><\/strong> ! \u2014 Comment tu sais ? \u2014 Parce qu’on a saut\u00e9 un paquet<\/em> [0] \u2014 Mais avant, on sautait aussi un paquet et \u00e7a faisait 2. \u2014 Oui, mais l\u00e0, c’est des gros<\/strong><\/em>. \u2026<\/p><\/blockquote>\n

On constate ici que, selon le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments en jeu, un \u00e9cart num\u00e9rique entre deux collections n\u2019a pas la m\u00eame valeur selon que l\u2019on se trouve dans la petite s\u00e9rie ou dans la grande. En d\u2019autres termes, ce n\u2019est que dans les petites collections que l\u2019enfant parvient \u00e0 \u00ab cardinaliser \u00bb correctement le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments qui s\u00e9parent deux nombres ordinaux.<\/p>\n

Dans son introduction au volume des Etudes d\u2019\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique portant sur les Probl\u00e8mes de construction du nombre<\/em>, Piaget tire deux conclusion de ce type de r\u00e9sultats (d\u2019autres recherches vont dans le m\u00eame sens que la pr\u00e9c\u00e9dente) : 1\u00b0 une valorisation certes indirecte de l\u2019apport de l\u2019entourage, et 2\u00b0 une extension de la solution ant\u00e9rieure apport\u00e9e au probl\u00e8me de l\u2019origine du nombre op\u00e9ratoire. Voil\u00e0 ce qu\u2019il \u00e9crit \u00e0 la page 19 de cette introduction :<\/p>\n

[\u2026] la suite apprise des <\/em>nombres impos\u00e9e par l’entourage adulte<\/em> avant la compr\u00e9hension des structures num\u00e9riques, semble ne se structurer que par paliers progressifs<\/em> ou par zones, sans g\u00e9n\u00e9ralisation imm\u00e9diate aux nombres 7-15 ou 15-30, etc., de ce qui est compris pour le 1er<\/sup> palier de 1 \u00e0 7 ou 8. Nous nous trouvons [\u2026] en pr\u00e9sence d’un processus beaucoup plus profond et plus g\u00e9n\u00e9ral, que l’on pourrait d\u00e9signer du terme d’arithm\u00e9tisation progressive<\/em> (et par paliers) de la s\u00e9rie des entiers, connue verbalement avant que d’\u00eatre comprise<\/em>. Ce qui reviendrait \u00e0 dire que, si le nombre r\u00e9sulte, selon notre hypoth\u00e8se, d’une synth\u00e8se des embo\u00eetements de classes et de la s\u00e9riation, cette synth\u00e8se ne s’effectue pas en une fois mais \u00e0 la mani\u00e8re d’une int\u00e9gration graduelle (au sens psychologique du terme).<\/p><\/blockquote>\n

Je reviendrai dans les conclusions de ce cours sur l\u2019hypoth\u00e8se indiqu\u00e9e ici, voisine de la combinaison des notions de cardinal et d\u2019ordinal dont il a \u00e9t\u00e9 question pr\u00e9c\u00e9demment. Notons pour l\u2019instant que cet extrait contient une affirmation quelque peu \u00e9quivoque : les premiers nombres seraient \u00ab impos\u00e9s par l\u2019entourage \u00bb et n\u2019auraient pas de valeur de connaissance autre que \u00ab verbale \u00bb (r\u00e9p\u00e9ter ce qui \u00e9t\u00e9 entendu et appris). Faut-il en d\u00e9duire que Piaget rejette (pour raison de \u00ab verbalisme \u00bb) un tel apprentissage impos\u00e9 de la suite de ce qui ne saurait \u00eatre d\u00e9j\u00e0 des nombres \u00e0 proprement parler ? Pas forc\u00e9ment\u2026 La suite de l\u2019affirmation montre en effet que Piaget ne sous-estime pas cet apport, dans la mesure o\u00f9 en r\u00e9sulterait chez l\u2019enfant un travail intellectuel qui, m\u00eame de port\u00e9e tr\u00e8s limit\u00e9e, rel\u00e8ve d\u00e9j\u00e0 de cette \u00ab synth\u00e8se entre des embo\u00eetements de classes et de la s\u00e9riation \u00bb que l\u2019extrait suivant pr\u00e9cise un peu :<\/p>\n

[On peut voir] \u00ab d\u00e8s ce niveau [= avant 6 ans] la sp\u00e9cificit\u00e9 des quasi-structures num\u00e9riques, qu’on ne saurait r\u00e9duire ni \u00e0 des pr\u00e9classes, ni \u00e0 des pr\u00e9relations seulement, mais qui t\u00e9moignent sans doute d’un d\u00e9but de synth\u00e8se, entre elles deux (sans donc atteindre le palier qui sera caract\u00e9ris\u00e9 par la synth\u00e8se compl\u00e8te entre les groupements eux-m\u00eames de classes et de relations, engendrant les premi\u00e8res structures proprement num\u00e9riques) \u00bb. (id<\/em>. p. 23)<\/p><\/blockquote>\n

En d\u2019autres termes, Piaget ne nie pas l\u2019existence d\u2019un \u00ab pr\u00e9nombre \u00bb, ou mieux d\u2019un \u00ab protonombre \u00bb<\/a>[13]<\/a> avant le nombre op\u00e9ratoire, protonombre que, d\u00e9j\u00e0, on ne peut r\u00e9duire ni aux \u00ab protorelations \u00bb ni aux \u00ab protoclasses \u00bb logiques, mais qui contient des aspects emprunts aux unes et aux autres, au moins chez le jeune enfant \u00e0 qui l\u2019adulte a \u00ab impos\u00e9 \u00bb une premi\u00e8re confrontation avec la suite des nombres. Piaget connaissait suffisamment bien l\u2019histoire de la pens\u00e9e humaine pour savoir que des enfants livr\u00e9s \u00e0 eux-m\u00eames, donc en l\u2019absence de toute transmission sociale des connaissances, n\u2019iraient gu\u00e8re au-del\u00e0 de la connaissance des comp\u00e9tences num\u00e9riques (ou protonum\u00e9riques) observ\u00e9es chez les grands singes, ou encore les corbeaux, etc.<\/p>\n

En un mot, s\u2019il convient de se m\u00e9fier de tout verbalisme dans les apprentissages impos\u00e9s, cela ne signifie pas que tout apprentissage impos\u00e9, m\u00eame verbal, soit vain.<\/p>\n

2. Le nombre comme quotit\u00e9 et le nombre comme quantit\u00e9<\/h4>\n

C\u2019est dans la m\u00eame s\u00e9rie de recherches sur la construction du nombre que Gr\u00e9co a mis en lumi\u00e8re un fait dont on trouve d\u00e9j\u00e0 des traces dans les observations pr\u00e9sent\u00e9es dans La gen\u00e8se du nombre<\/em> (1941) mais qui n\u2019avait pas retenu l\u2019attention de Piaget. <\/a>[14]<\/a> Commen\u00e7ons par rappeler le r\u00e9sultat principal des recherches sur la conservation du nombre. Le jeune enfant n\u2019admet pas que le nombre d\u2019une collection d\u2019\u00e9l\u00e9ments se conserve lorsque l\u2019on effectue une simple transformation spatiale de la collection (sans ajout ni suppression d\u2019\u00e9l\u00e9ments) : le simple allongement d\u2019une suite de jetons entra\u00eenerait un accroissement de leur quantit\u00e9<\/em> par rapport \u00e0 une m\u00eame s\u00e9rie qui ne subit pas de transformation, alors m\u00eame qu\u2019une correspondance terme \u00e0 terme a \u00e9t\u00e9 initialement constat\u00e9e entre les deux collections conduisait l\u2019enfant \u00e0 admettre leur \u00e9galit\u00e9 quantitative de d\u00e9part. Mais si on demande \u00e0 un enfant de 5-6 ans si le nombre<\/em> lui-m\u00eame a chang\u00e9, il peut r\u00e9pondre n\u00e9gativement, comme dans l\u2019exemple suivant (extrait de la recherche de Pierre Gr\u00e9co sur \u00ab Quantit\u00e9 et quotit\u00e9, nouvelles recherches sur la correspondance terme \u00e0 terme et la conservation des ensembles \u00bb <\/a>[15]<\/a>) :<\/p>\n

Tib (4 ; 11). [Apr\u00e8s qu\u2019il a affirm\u00e9 que la s\u00e9rie allong\u00e9e a plus de jetons parce que \u00aby en a un qui d\u00e9passe\u00bb, Tib r\u00e9pond de la mani\u00e8re suivante aux questions de l\u2019exp\u00e9rimentateur:]. \u00ab Est-ce qu’on peut remettre comme avant ? \u2014 Bien s\u00fbr, c’est le m\u00eame nombre de puces<\/em>. \u2014 Et comme c’est l\u00e0, est-ce que c’est aussi le m\u00eame nombre [donc avec la s\u00e9rie allong\u00e9e]? \u2014 Oui, le m\u00eame nombre, mais y a plus en bas, parce qu’il y en a un en trop<\/em>. \u00bb (op<\/em>. cit<\/em>., p. 5)<\/p><\/blockquote>\n

Cette r\u00e9ponse est loin d\u2019\u00eatre isol\u00e9e ! Lorsque Piaget rencontrait des r\u00e9ponses de m\u00eame type, il ne s\u2019y arr\u00eatait pas (voir plus haut) ou les assimilait \u00e0 un simple apprentissage verbal. En examinant finement ce qui intervient dans les r\u00e9ponses d\u2019enfants tels que Tib, Gr\u00e9co a le m\u00e9rite de relever que m\u00eame s\u2019il y a en effet risque de verbalisme li\u00e9 \u00e0 un simple apprentissage verbal de la suite des nombres, cela n\u2019est pas forc\u00e9ment le cas. L\u2019apprentissage de la suite des premiers chiffres peut entra\u00eener la construction d\u2019un sch\u00e8me complexe d\u2019action : \u00e9mettre <\/em>une suite de son tout en pointant l\u2019un apr\u00e8s l\u2019autre les \u00e9l\u00e9ments de la s\u00e9rie d\u00e9nombr\u00e9e ou en ajoutant un nouvel \u00e9l\u00e9ment apr\u00e8s ceux d\u00e9j\u00e0 plac\u00e9s. Ceci suffit \u00e0 amener le sujet \u00e0 cr\u00e9er une premi\u00e8re notion de nombre (qui, tout en s\u2019appuyant sur elle, va au-del\u00e0 de la perception de la num\u00e9rosit\u00e9 des petites collections) : le nombre comme quotit\u00e9<\/em>, ainsi que la d\u00e9signe Gr\u00e9co. Sa pr\u00e9sence est attest\u00e9e par les r\u00e9ponses que donnent ces enfants \u00e0 la question \u00ab combien ? \u00bb. Ainsi Tib affirme sans h\u00e9siter qu\u2019il y a \u00ab le m\u00eame nombre \u00bb dans les deux s\u00e9ries de jetons, tout en soutenant que la quantit\u00e9<\/em> de jetons dans la s\u00e9rie la plus \u00e9cart\u00e9e est plus grande du simple fait qu\u2019il y a (apparence trompeuse) un jeton de trop dans cette s\u00e9rie. Le fait que l\u2019enfant qui affirme la conservation de la quotit\u00e9 soutient en m\u00eame temps la non-conservation de la quantit\u00e9 r\u00e9v\u00e8le par la m\u00eame qu\u2019il n\u2019a pas encore compl\u00e8tement isol\u00e9 le nombre cardinal des propri\u00e9t\u00e9s spatiales de la collection qu\u2019il a sous les yeux.<\/p>\n

Conclusion<\/h3>\n

Les quelques exp\u00e9riences pr\u00e9sent\u00e9es ci-dessus montrent que, bien que le b\u00e9b\u00e9 a certainement d\u00e9j\u00e0 un certaine capacit\u00e9 de reconna\u00eetre la num\u00e9rosit\u00e9 de petits ensembles ou de petites collections d\u2019\u00e9l\u00e9ments, ce n\u2019est pas avant 6-7 ans qu\u2019appara\u00eet la notion de nombre naturel au sens usuel du terme, qui seul peut servir et a certainement servi de base \u00e0 la construction de la science arithm\u00e9tique, dans la mesure o\u00f9 cette notion diff\u00e9rencie compl\u00e8tement les propri\u00e9t\u00e9s cardinales et ordinales des caract\u00e9ristiques spatiales d\u2019un ensemble d\u2019\u00e9l\u00e9ments, et par l\u00e0 permet l\u2019ind\u00e9pendance et le regroupement des op\u00e9rations num\u00e9riques (l\u2019addition et la soustraction). On a vu au passage comment cette acquisition, ainsi que la propri\u00e9t\u00e9 de conservation du nombre qu\u2019elle implique, sont li\u00e9es \u00e0 la reconnaissance de trois types de consid\u00e9rations mis en lumi\u00e8re par les arguments que l\u2019on obtient lorsqu\u2019on demande aux enfants de niveau op\u00e9ratoire de justifier leur jugement de conservation, ou lorsque l\u2019on formule des contre-suggestions dans le but de v\u00e9rifier la solidit\u00e9 de ce jugement : l\u2019identit\u00e9, la r\u00e9versibilit\u00e9 et la compensation. L\u2019enfant op\u00e9ratoire reconna\u00eet imm\u00e9diatement, ou apr\u00e8s une courte r\u00e9flexion, qu\u2019une collection dont on \u00e9loigne ou dont on rapproche les \u00e9l\u00e9ments les uns des autres conserve le m\u00eame nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments dans la mesure o\u00f9 (1) on ne lui en a pas ajout\u00e9 de nouveaux, (2) que si l\u2019on en ajoute on peut revenir au m\u00eame nombre en r\u00e9alisant une op\u00e9ration inverse annulant compl\u00e8tement la premi\u00e8re, et enfin (3) que le fait que des \u00e9l\u00e9ments qui paraissent en surplus dans une collection dont on a \u00e9cart\u00e9 les termes sont compens\u00e9s par le plus grand nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments pr\u00e9sents dans l\u2019espace plus r\u00e9duit de la collection dont les composants n\u2019ont pas \u00e9t\u00e9 \u00e9loign\u00e9s les uns des autres.<\/p>\n

Enfin, et pour conclure ce chapitre sur la gen\u00e8se du nombre, revenons sur la th\u00e8se centrale d\u00e9velopp\u00e9e par Piaget quant \u00e0 la nature m\u00eame du nombre, con\u00e7u comme le r\u00e9sultat de la synth\u00e8se ou de la fusion des op\u00e9rations d\u2019inclusion de classes et de s\u00e9riation des relations logiques (ou, pour le nombre pr\u00e9op\u00e9ratoire non encore pleinement diff\u00e9renci\u00e9 de l\u2019espace, de la synth\u00e8se des pr\u00e9op\u00e9rations d\u2019inclusion et de s\u00e9riation pr\u00e9logiques).<\/p>\n

Pour cerner ce processus de synth\u00e8se propos\u00e9 par Piaget \u00e0 la suite de ses ma\u00eetres Arnold Reymond et L\u00e9on Brunschvicg, prenons par exemple une collection de 7 unit\u00e9s (en rappel de l\u2019argument de Kant selon lequel le nombre 7 est issu de l\u2019addition de 1 \u00e9l\u00e9ment \u00e0 une s\u00e9rie de 6 \u00e9l\u00e9ments, elle-m\u00eame issue de l\u2019addition de 1 \u00e0 une s\u00e9rie de 5 \u00e9l\u00e9ments elle-m\u00eame issue\u2026 etc.). Cette collection de 7 contient la collection de 6, qui elle-m\u00eame contient celle de 5, etc. jusqu\u2019\u00e0 la collection de 2, contenue dans celle de 3 et contenant celle de 1. Mais, comment distinguer la collection de 7 de celle de 6 alors m\u00eame que tous les \u00e9l\u00e9ments sont pareils (sont des 1) ?<\/p>\n

En logique, on peut distinguer les \u00e9l\u00e9ments d\u2019une classe A (tous les carr\u00e9s appartenant \u00e0 un ensemble de carr\u00e9s noirs par exemple) d\u2019un autre \u00e9l\u00e9ment (un autre carr\u00e9) qui poss\u00e8de une caract\u00e9ristique que les A ne poss\u00e8dent pas (dans cet exemple une couleur diff\u00e9rente, blanche par exemple), ce qui permet de construire la classe embo\u00eetante A+A\u2019=B (A\u2019 \u00e9tant compos\u00e9e des \u00e9l\u00e9ments de B qui ne partagent pas la caract\u00e9ristique commune r\u00e9unissant les A). Par contre, si l\u2019on ajoute un carr\u00e9 noir \u00e0 la classe A, cette classe n\u2019est en rien logiquement modifi\u00e9e, contrairement \u00e0 ce qui se passe pour les nombres (5)+(1)\u2260(5) : la classe des carr\u00e9s noirs reste la classe des carr\u00e9s noirs si on lui ajoute un carr\u00e9 noir, en d\u2019autres termes, A = A.<\/p>\n

\"Fig.<\/a>
Fig. 5<\/figcaption><\/figure>\n

Mais, s\u2019il n\u2019y a aucune diff\u00e9rence entre les unit\u00e9s num\u00e9riques de la collection 7 et les unit\u00e9s num\u00e9riques de la collection 6, comment distinguer l\u2019\u00e9l\u00e9ment nouvellement ajout\u00e9 aux 6 \u00e9l\u00e9ments ? La classe de 7 ne se distingue logiquement pas de la classe de 6. Certes, on peut bien utiliser la correspondance terme \u00e0 terme ? Mais comment \u00e9tablir une telle correspondance alors que l\u2019espace n\u2019entre pas dans le concept de nombre ?<\/p>\n

La th\u00e8se de Piaget, que conforte les observations qu\u2019il a pu faire du parall\u00e9lisme d\u2019acquisition des notions de nombre cardinal et de nombre ordinal est que l\u2019enfant y parvient certes en s\u2019appuyant sur l\u2019espace, mais surtout en consid\u00e9rant que le 1 (nombre cardinal) ajout\u00e9 \u00e0 la collection de 6 (nombre cardinal) unit\u00e9s d\u00e9j\u00e0 construite devient le 7\u00e8me<\/sup> (nombre ordinal) \u00e9l\u00e9ment de la nouvelle collection de 7 (nombre cardinal) unit\u00e9s qui inclut la collection de 6 unit\u00e9s qui elle-m\u00eame se distinguait de la collection de 5 gr\u00e2ce au 6\u00e8me<\/sup> \u00e9l\u00e9ment ajout\u00e9 \u00e0 cette derni\u00e8re, etc., jusqu\u2019au nombre 2, cardinal de la collection de 2 unit\u00e9s qui se distinguait de celle de 1 gr\u00e2ce \u00e0 son 2\u00e8me<\/sup> \u00e9l\u00e9ment venant s\u2019y ajouter.<\/p>\n

Plus bri\u00e8vement dit, les unit\u00e9s de chaque collection num\u00e9rique sont distingu\u00e9es les unes des autres gr\u00e2ce \u00e0 l\u2019ordre<\/em> ou s\u00e9riation logique que l\u2019on introduit entre elle d\u00e8s l\u2019ajout de 1 \u00e0 {1}, jusqu\u2019\u00e0 l\u2019ajout de 1 \u00e0 {1, 1, 1, 1, 1, 1\u2026}.<\/p>\n

Inversement, le 5\u00e8me<\/sup> \u00e9l\u00e9ment d\u2019une s\u00e9rie se distingue du 4\u00e8me<\/sup>, parce que la collect. {4} des \u00e9l\u00e9ments auquel il s\u2019ajoute contient un \u00e9l\u00e9ment de plus que la collection {3} auxquels s\u2019ajoutait le 4\u00e8me<\/sup>. Etc.<\/p>\n

C\u2019est donc bien la synth\u00e8se, la fusion ou la coordination entre les op\u00e9rations (ou pr\u00e9op\u00e9rations) d\u2019embo\u00eetement et de s\u00e9riation qui sous-tend les r\u00e9ponses des enfants aux probl\u00e8mes ou questions qu\u2019on leur pose par des \u00e9preuves telles que celles pr\u00e9c\u00e9demment expos\u00e9es.<\/p>\n

Une illustrations permet de r\u00e9sumer cette synth\u00e8se entre l\u2019embo\u00eetement (d\u00e9crit par les ovales) et l\u2019ordre, d\u00e9crit par la position successive des \u00e9l\u00e9ments ajout\u00e9s :<\/p>\n

\"Fig.<\/a>
Fig. 6<\/figcaption><\/figure>\n

Ce qu\u2019ont montr\u00e9 les exp\u00e9riences r\u00e9sum\u00e9s ci-dessus, c\u2019est que la correspondance terme \u00e0 terme des \u00e9l\u00e9ments successivement pos\u00e9s ne suffit pas \u00e0 garantir la conservation du nombre si par ailleurs l\u2019enfant n\u2019a pas \u00e0 l\u2019esprit l\u2019id\u00e9e que le tout pr\u00e9c\u00e9demment construit se conserve (est embo\u00eet\u00e9) dans le nouveau tout. Et en sens inverse, que l\u2019ajout un nouvel \u00e9l\u00e9ment ne suffit pas \u00e0 composer une totalit\u00e9 autre que celle d\u00e9j\u00e0 construite, si l\u2019enfant ne retient pas l\u2019id\u00e9e que ce nouvel \u00e9l\u00e9ment n\u2019est pas le m\u00eame que ceux pr\u00e9c\u00e9demment ajout\u00e9s et auxquels il est pourtant identifi\u00e9 (ils sont tous des 1 et ce qui les distingue n\u2019est que le caract\u00e8re successif de chacun de leur ajout).<\/p>\n

En d\u2019autres termes, ce que corroborent les observations psychog\u00e9n\u00e9tiques, c\u2019est que, \u00e0 l\u2019encontre des conceptions des math\u00e9maticiens ou des logiciens qui privil\u00e9giaient soit le nombre ordinal soit le nombre cardinal dans leur recherche d\u2019un fondement de la science arithm\u00e9tique, dans l\u2019\u00e9volution de la pens\u00e9e naturelle, la s\u00e9rie des entiers se construit d\u00e8s le d\u00e9part par synth\u00e8se des pr\u00e9op\u00e9rations puis des op\u00e9rations de colligation<\/em> ou r\u00e9union d\u2019\u00e9l\u00e9ments (dont on fait abstraction de leurs diff\u00e9rences individuelles) et de s\u00e9riation<\/em> (permettant de distinguer chacun de ces \u00e9l\u00e9ments malgr\u00e9 leur identit\u00e9 logique).<\/p>\n

D\u2019o\u00f9 la conception \u00e9pist\u00e9mologique que propose Piaget quant \u00e0 l\u2019origine et \u00e0 la signification du nombre : du point de vue de son origine, la s\u00e9rie des nombres entiers est issue de la fusion des (pr\u00e9)op\u00e9rations logique de classe et de relation asym\u00e9trique ; et du point de vue de sa signification, tout nombre de la s\u00e9rie des entiers est simultan\u00e9ment un nombre ordinal et un nombre cardinal. Quant au passage des pr\u00e9op\u00e9rations et des pr\u00e9concepts de nombre, aux op\u00e9rations et concepts de nombre, il est pour l\u2019essentiel issu de la coordination ou de la synth\u00e8se des propri\u00e9t\u00e9s et actions d\u2019identit\u00e9, de r\u00e9versibilit\u00e9 et de compensation, et donc des r\u00e9gulations qui peuvent intervenir chez un enfant confront\u00e9s aux transformations de collections d\u2019objet sur lesquelles portent ses jugements et raisonnements num\u00e9riques. Il reviendra au logicien J.B. Grize (voir le volume 11 des \u00e9tudes d\u2019\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique pp. 69-96) de d\u00e9montrer sur le terrain de la logique elle-m\u00eame 1\u00b0 comment le fait de r\u00e9unir formellement les op\u00e9rations de la logique des classes et de la logique des relations asym\u00e9triques fait tomber les restrictions des groupements logiques (loi de tautologie selon laquelle A+A=A, associativit\u00e9 limit\u00e9e, etc.), et donc 2\u00b0 comment la disparition de ces limitations ou restrictions permet d\u2019attribuer \u00e0 la structure op\u00e9ratoire issue de cette synth\u00e8se des classes et des relations des lois de groupe math\u00e9matique reconnues d\u00e8s le 19\u00e8me<\/sup> si\u00e8cle \u00e0 la structure des nombres entiers.<\/p>\n

__________________<\/p>\n

<\/a>[1]<\/a> Pour saisir toute la valeur de l\u2019apport de ces deux ma\u00eetres, on peut lire, du premier : Logique et math\u00e9matique<\/em>, et du second : Etapes de la philosophie math\u00e9matique<\/em>. Ces deux ouvrages contiennent en germes les th\u00e8ses principales d\u00e9velopp\u00e9es par leur \u00e9l\u00e8ve (cf. \u00e0 ce sujet ma th\u00e8se de 1984 sur la formation de la pens\u00e9e scientifique et philosophique de Piaget). <\/em><\/p>\n

<\/a>[2]<\/a> En g\u00e9n\u00e9ral, par rapport \u00e0 toute connaissance, on peut faire trois hypoth\u00e8ses quant \u00e0 sa pr\u00e9sence chez un individu : cette connaissance est soit (1) inn\u00e9e (c\u2019est-\u00e0-dire h\u00e9r\u00e9ditairement transmise \u00e0 cet individu), soit (2) construite par le sujet, soit (3) acquise par apprentissage empirique individuel, ou par apprentissage social (et notamment scolaire).<\/p>\n

<\/a>[3]<\/a> Avec ces exemples, on n\u2019est pas loin d\u2019une exp\u00e9rience ult\u00e9rieure de P. Gr\u00e9co et dont il sera question plus loin, dans laquelle est mise en \u00e9vidence une conservation du nombre, mais de la quotit\u00e9<\/em> [terme emprunt\u00e9 \u00e0 Cournot et Couturat, cf. EEG, 13, p. 9] alors m\u00eame qu\u2019il n\u2019y a pas de conservation de l\u2019\u00e9galit\u00e9 des deux collection lorsqu\u2019une simple transformation de l\u2019arrangement spatial est introduite sur l\u2019une des deux collections d\u2019\u00e9l\u00e9ments, l\u2019autre restant inchang\u00e9e. J\u2019y reviendrai apr\u00e8s la pr\u00e9sentation des travaux de Piaget.<\/p>\n

<\/a>[4]<\/a> La m\u00eame exp\u00e9rience peut \u00eatre faite avec des vases et des fleurs, ou deux collections de jetons de couleur diff\u00e9rente, ou tout autres objets familiers aux enfants.<\/p>\n

<\/a>[5]<\/a> Voir La Gen\u00e8se du nombre<\/em>, p. 70.<\/p>\n

<\/a>[6]<\/a> Un extrait de film pr\u00e9sent\u00e9 sur le site de la Fondation Jean Piaget illustre cette succession de r\u00e9ponses. Pour le visionner, consulter la page suivante du site :<\/p>\n

http:\/\/www.fondationjeanpiaget.ch\/fjp\/site\/ModuleFJP001\/index_gen_page.php?IDPAGE=83&IDMODULE=45.<\/p>\n

<\/a>[7]<\/a> Cette question du d\u00e9nombrement ou du comptage et de ce qu\u2019il implique pour l\u2019enfant qui n\u2019a pas encore atteint le stade 3 sera reprise plus loin.<\/p>\n

<\/a>[8]<\/a> La mani\u00e8re dont Chou comme les autres enfants de ce niveau utilisent ce \u00ab nombre \u00bb d\u00e9montre que celui-ci n\u2019a pas encore sa pleine signification arithm\u00e9tique, c\u2019est-\u00e0-dire n\u2019est pas encore pleinement dissoci\u00e9 de la num\u00e9rosit\u00e9 perceptive ou de la grandeur spatial\u2026<\/p>\n

<\/a>[9]<\/a> Comment\u00e9 par Piaget, un extrait du film de J.C. Goretta \u00ab\u00a0L’\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique de Jean Piaget\u00a0\u00bb illustre le comportement d’une jeune fille de 9 ans interrog\u00e9e sur le nombre d’\u00e9l\u00e9ments qui suivent le premier \u00e9l\u00e9ment d’une s\u00e9rie, et sur le nombre d’\u00e9l\u00e9ments (alors cach\u00e9s) qui pr\u00e9c\u00e8dent le dernier \u00e9l\u00e9ment toujours visible de la m\u00eame s\u00e9rie. Cet extrait illustre la fa\u00e7on dont, apr\u00e8s qu\u2019on a demand\u00e9 \u00e0 cette jeune fille combien d\u2019\u00e9l\u00e9ments succ\u00e8dent au premier \u00e9l\u00e9ment<\/em> et qu\u2019elle a, pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question pr\u00e9alable, simplement compt\u00e9s ces \u00e9l\u00e9ments alors tous visibles, elle coordonne ensuite les notions d\u2019ordre (nombre ordinal) et de quantit\u00e9 (nombre cardinal) pour r\u00e9pondre \u00e0 une question dans laquelle on lui demande combien<\/em> d\u2019\u00e9l\u00e9ments<\/em> (alors cach\u00e9s par un carton) pr\u00e9c\u00e8dent<\/em> le dernier \u00e9l\u00e9ment d\u2019une s\u00e9rie de baguettes de plus en plus grandes<\/em>. Cet extrait peut \u00eatre consult\u00e9 sur la page suivante du site de la Fondation Jean Piaget :<\/p>\n

http:\/\/www.fondationjeanpiaget.ch\/fjp\/site\/biographie\/index_gen_media.php?MEDIAID=127.<\/p>\n

<\/a>[10]<\/a> Cette exp\u00e9rience est pr\u00e9sent\u00e9e dans l\u2019ouvrage de Jacques Vauclair dont il a \u00e9t\u00e9 question dans les cours sur l\u2019intelligence sensori-motrice.<\/p>\n

<\/a>[11]<\/a> Je reviendrai lors des conclusions du cours sur ce m\u00e9canisme.<\/p>\n

<\/a>[12]<\/a> Cette exp\u00e9rience est rapport\u00e9e par Pierre Gr\u00e9co dans son chapitre sur \u00ab Recherches sur quelques formes d\u2019inf\u00e9rences arithm\u00e9tique et sur la compr\u00e9hension de l\u2019it\u00e9ration num\u00e9rique chez l\u2019enfant \u00bb (in Probl\u00e8mes de la construction du nombre<\/em>, EEG, vol. XI, 1969, pp. 149-213).<\/p>\n

<\/a>[13]<\/a> Dans la suite, nous utiliserons \u00e0 nouveau les d\u00e9signations adopt\u00e9es par Piaget et qui sont bas\u00e9es sur le pr\u00e9fixe \u00ab pr\u00e9 \u00bb. Mais ce dernier pr\u00e9fixe pouvant sugg\u00e9rer : avant l\u2019existence de tout nombre (ou de toute logique, pour pr\u00e9logique), nous utilisons momentan\u00e9ment le pr\u00e9fixe \u00ab proto \u00bb pour d\u00e9signer des notions encore en germe de nombre arithm\u00e9tique ainsi que de classe et relation logiques (\u00ab proto \u00bb signifiant dans le pr\u00e9sent contexte non pas \u00ab avant \u00bb, mais \u00ab au d\u00e9but \u00bb, ou encore dans les premi\u00e8res \u00e9tapes conduisant \u00e0 une pleine acquisition d\u2019une notion.<\/p>\n

<\/a>[14]<\/a> On trouve \u00e9galement des traces de cette distinction entre quotit\u00e9 et quantit\u00e9 dans la recherche sur la gen\u00e8se de la notion d\u2019\u00e2ge, chapitre 9 de l\u2019ouvrage sur Le d\u00e9veloppement de la notion de temps chez l\u2019enfant<\/em>, r\u00e9ponse de Joc (5 ans \u00bd) au probl\u00e8me de comparaison des \u00e2ges d\u2019un poirier et d\u2019un pommier (cf. 229).<\/p>\n

<\/a>[15]<\/a> Cette recherche est expos\u00e9e dans le 13 volume des Etudes d\u2019\u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique publi\u00e9 en 1962 et ayant pour objet Les structures num\u00e9riques \u00e9l\u00e9mentaires<\/em>).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Recherches sur la gen\u00e8se du nombre (2e partie) [version PDF du cours n. 9] [Vers: Cours n. 12 \u2014\u00a0Cours n. 11 \u2014\u00a0Cours n. 10 \u2014 Cours n. 8 \u2014 Cours n. 7 \u2014 Cours n. 6 \u2014 Cours n. 5 \u2014 Cours n. 4 \u2014 Cours n. 3 \u2014 Cours n. 2 \u2014 Cours n.… Read more <small>J. Piaget et la psychologie du d\u00e9veloppement cognitif (IX)<\/small><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[32,33],"tags":[],"class_list":["post-1141","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-developpement-de-lintelligence","category-psychologie-genetique"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1141","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1141"}],"version-history":[{"count":60,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1141\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1612,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1141\/revisions\/1612"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1141"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1141"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1141"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}