{"id":1004,"date":"2011-12-31T16:13:00","date_gmt":"2011-12-31T15:13:00","guid":{"rendered":"http:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/?p=1004"},"modified":"2012-03-26T10:37:36","modified_gmt":"2012-03-26T09:37:36","slug":"j-piaget-et-la-psychologie-du-developpement-cognitive-viii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/2011\/12\/31\/j-piaget-et-la-psychologie-du-developpement-cognitive-viii\/","title":{"rendered":"J. Piaget et la psychologie du d\u00e9veloppement cognitif (VIII)<\/small>"},"content":{"rendered":"

<\/a>Recherches sur la gen\u00e8se du nombre (1)<\/small><\/h2>\n

[version PDF du cours n. 8<\/a>]<\/p>\n

[Vers: Cours n. 12<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 11<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 10<\/a> \u2014\u00a0Cours n. 9<\/a> \u2014 Cours n. 7<\/a> \u2014 Cours n. 6<\/a> \u2014 Cours n. 5<\/a> \u2014 Cours n. 4<\/a> \u2014 Cours n. 3<\/a> \u2014 Cours n. 2<\/a> \u2014 Cours n. 1<\/a>]<\/p>\n

Le but de ce cours et de celui de la semaine prochaine est double\u00a0: 1. insister une nouvelle fois sur le caract\u00e8re indissociablement \u00e9pist\u00e9mologique et psychologique des recherches psychologiques de Piaget (caract\u00e8re le plus souvent ignor\u00e9 des auteurs de trait\u00e9s de psychologie du d\u00e9veloppement), 2. d\u00e9crire les aspects principaux de la gen\u00e8se et de la construction du nombre chez l\u2019enfant. Aujourd\u2019hui, nous allons \u00e0 nouveau faire un d\u00e9tour historique pour prendre connaissance du contexte intellectuel et scientifique \u00e0 partir duquel Piaget a initi\u00e9 ses recherches sur la construction du nombre chez l\u2019enfant et qui \u00e9claire leur nature \u00e0 la fois psychologique et \u00e9pist\u00e9mologique. Ce d\u00e9tour livrera en particulier un aper\u00e7u des travaux de philosophes, de logiciens et de math\u00e9maticiens sur la question des fondements du nombres qui nous permettra ult\u00e9rieurement de mesurer combien la recherche piag\u00e9tienne leur est redevable et combien en retour celle-ci contribue \u00e0 clarifier ce que signifie le nombre. La semaine prochaine, je pr\u00e9senterai quelques-unes des recherches de Piaget et de ses proches collaborateurs, recherches dont l\u2019int\u00e9r\u00eat premier pour tout psychologue de l\u2019enfant et p\u00e9dagogue est de prendre connaissance de ce que peut bien \u00eatre et comment s\u2019acquiert ce savoir num\u00e9rique que tout adulte pr\u00eate \u00e0 l\u2019enfant sans trop savoir ce qu\u2019il entend par l\u00e0.<\/p>\n

<\/p>\n

Le contexte intellectuel et scientifique. Survol historique<\/h3>\n

a) La psychologie<\/h4>\n

1. La psychologie de l\u2019enfant<\/h5>\n

Avant Piaget, il semble qu\u2019aucun psychologue ne se soit pench\u00e9 sur la question de la gen\u00e8se<\/em> du nombre chez l\u2019enfant et encore moins de sa construction<\/em>, ceci dans le but de les expliquer. Plusieurs enqu\u00eates avaient certes \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9e au sujet de l\u2019acquisition du nombre chez les enfants, mais ceci dans le but de conna\u00eetre, \u00e0 des fins psychop\u00e9dagogiques l\u2019\u00e2ge moyen auquel telle ou telle connaissance num\u00e9rique \u00e9tait ma\u00eetris\u00e9e par eux, et donc dans le souci de conna\u00eetre l\u2019\u00e2ge auquel telle ou telle s\u00e9rie de nombres, notion ou op\u00e9ration num\u00e9rique pouvait \u00eatre l\u2019objet d\u2019un enseignement prenant en compte leurs capacit\u00e9s d\u2019apprentissage. On trouve cependant dans un bref article publi\u00e9 en 1890 par Alfred Binet (l\u2019un des p\u00e8res fondateurs des tests suppos\u00e9s mesurer le d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence) une \u00e9tude sur la perception de la num\u00e9rosit\u00e9 chez l\u2019une de ses filles \u00e2g\u00e9e de 4 ans qui fr\u00f4le l\u2019une des d\u00e9couvertes majeures que Piaget fera environ \u00bd si\u00e8cle plus tard.<\/p>\n

Binet s\u2019\u00e9tait pos\u00e9 la question de savoir comment sa fille s\u2019y prenait pour affirmer tout \u00e0 fait correctement et ans aucun proc\u00e9d\u00e9 de comptage qu\u2019il y a plus de jetons dans une collection de 18 jetons plac\u00e9s devant elle que dans une collection de 16 jetons de m\u00eame taille. Son hypoth\u00e8se \u00e9tait alors que l\u2019enfant fonde son jugement sur la perception d\u2019ensemble de la collection\u00a0: \u00ab\u00a0il n\u2019y aurait [\u2026] point, \u00e0 proprement parler num\u00e9ration\u00a0\u00bb, mais seulement \u00ab\u00a0perception d\u2019une grandeur discontinue\u00a0\u00bb au moyen de la place plus grande occup\u00e9e sur la table par la collection de 18 jetons. Pour tester cette hypoth\u00e8se, il a eu alors l\u2019id\u00e9e de pr\u00e9senter deux collections de jetons \u00e0 sa fille\u00a0: la m\u00eame collection de 18 jetons, ainsi qu\u2019une deuxi\u00e8me collection de 16 jetons, mais cette fois de taille plus grande<\/em>. La r\u00e9ponse de l\u2019enfant a confirm\u00e9 son hypoth\u00e8se\u00a0: pour la fillette, la collection de 16 jetons contenait plus d\u2019\u00e9l\u00e9ments que celle de 18.<\/p>\n

Une deuxi\u00e8me exp\u00e9rience porte \u00e0 nouveau sur la comparaison num\u00e9rique de deux collections, mais dont chacune est compos\u00e9e d\u2019un nombre plus petit de jetons que ce n\u2019est le cas dans la premi\u00e8re exp\u00e9rience. Cette fois, la fille de Binet compare correctement les deux collections, pour autant que la premi\u00e8re ne contienne pas plus que 5 petits jetons, et la seconde que 4 gros jetons. D\u00e8s que son p\u00e8re lui demande de comparer deux collections, l\u2019une de 6 petits jetons et l\u2019autre de 5 grands jetons, elle affirme \u00e0 nouveau que la seconde en contient plus que la premi\u00e8re.<\/p>\n

Cette unique \u00e9tude de Binet est int\u00e9ressante non seulement par ses r\u00e9sultats, mais \u00e9galement en ce que l\u2019on peut y d\u00e9celer une certaine similitude avec les recherches piag\u00e9tiennes \u00e0 venir sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant. N\u00e9anmoins, une telle similitude reste superficielle pour une raison sur laquelle il convient d\u2019insister\u00a0: \u00e0 aucun moment Binet ne pose la question de savoir qu\u2019est-ce qui va permettre \u00e0 l\u2019enfant d\u2019aller au del\u00e0 d\u2019un jugement de quantification bas\u00e9 sur la seule perception d\u2019une num\u00e9rosit\u00e9 toujours plus ou moins \u00e9troitement li\u00e9e \u00e0 l\u2019espace occup\u00e9 et d\u2019acqu\u00e9rir la notion op\u00e9ratoire de nombre, seule apte \u00e0 fournir un fondement naturel \u00e0 la science des nombres. C\u2019est que la r\u00e9ponse devait lui para\u00eetre trompeusement \u00e9vidente (comme elle appara\u00eet souvent tout aussi trompeusement chez les parents qui admirent les activit\u00e9s de comptage auxquelles les jeunes enfants se livrent sous leur aimable incitation)\u00a0: l\u2019apprentissage du \u00ab\u00a0d\u00e9nombrement\u00a0\u00bb\u00a0<\/a>[1]<\/a>.<\/p>\n

En bref, il semble bien qu\u2019avant Piaget il n\u2019existait aucune programme de recherche semblable au sien et caract\u00e9ris\u00e9 par ce souci (1) de joindre le questionnement \u00e9pist\u00e9mo\u00adlogique sur la nature et l\u2019origine logique du nombre tel que l\u2019ont formul\u00e9 les math\u00e9maticiens philosophes (ou les philosophes math\u00e9maticiens) de la fin du 19e<\/sup> si\u00e8cle, et (2) le questionnement sur la gen\u00e8se du nombre naturel chez l\u2019enfant, questionnement d\u00e8s lors non seulement psychologique mais \u00e9galement \u00e9pist\u00e9mologique, puisque attach\u00e9 \u00e0 d\u00e9gager ce que signifie v\u00e9ritablement cette notion de nombre que l\u2019enfant acqui\u00e8re vers 6-7 ans environ, et qui va au-del\u00e0 de la simple saisie perceptive de la num\u00e9rosit\u00e9 d\u2019une collection (num\u00e9rosit\u00e9 dont il s\u2019agit \u00e9galement de clarifier la signification). C\u2019est cette jonction du questionnement \u00e9pist\u00e9mologique et de la recherche psychologique qui sera la source de l\u2019apport tout \u00e0 fait original et f\u00e9cond des recherches piag\u00e9tiennes sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant et qui distingue donc ces recherches de celle publi\u00e9e par Binet en 1890.<\/p>\n

Au demeurant, il est peu probable que Piaget ait eu connaissance de cette recherche rest\u00e9e isol\u00e9e de Binet sur la perception de la num\u00e9rosit\u00e9 chez l\u2019enfant, celle-ci ayant \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9e une trentaine d\u2019ann\u00e9es avant que Piaget ne d\u00e9marre ses propres enqu\u00eates de psychologie g\u00e9n\u00e9tique. Par contre, il avait connaissance d\u2019autres travaux qui ont certainement facilit\u00e9 la mise en place de ses recherches sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant. Il connaissait en particulier tr\u00e8s bien les travaux d\u2019Alice Desc\u0153udres\u00a0<\/a>[2]<\/a> r\u00e9alis\u00e9s \u00e0 l\u2019Institut Jean-Jacques Rousseau dans les ann\u00e9es m\u00eames o\u00f9 il cr\u00e9ait son propre programme de recherches, incluant la question de la gen\u00e8se du nombre (ou les pr\u00e9c\u00e9dant de peu). Contrairement \u00e0 celui de Binet, les travaux de Desc\u0153udres donnent une plus juste image de la situation de la psychologie de l\u2019enfant, que Piaget a rencontr\u00e9e lorsqu\u2019il a d\u00e9marr\u00e9 ses recherches. Aussi, arr\u00eatons-nous un instant sur un ouvrage sur Le d\u00e9veloppement de l\u2019enfant de 2 \u00e0 7 ans<\/em>, \u00a0publi\u00e9 en 1920 par Desc\u0153udres, et qui est essentiellement un recueil et une pr\u00e9sentation de tests de d\u00e9veloppement, avec les \u00e2ges auxquels les enfants acqui\u00e8rent en moyenne telle ou telle notion. Le chapitre 8 de cet ouvrage a pour objet le d\u00e9veloppement du nombre. Son auteur y pr\u00e9sente onze tests du p\u00e9dagogue belge O. Decroly modifi\u00e9s par elle. La liste des tests auxquels les enfants sont confront\u00e9s est la suivante\u00a0:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
1. Reproduire un (petit) nombre d\u2019objets<\/td>\n7. Donner 1, 3, 4 objets<\/td>\n<\/tr>\n
2. Reproduire autant de doigt que d\u2019objets<\/td>\n8. Enum\u00e9rer la suite des nombres<\/td>\n<\/tr>\n
3. Autant d\u2019objets que de doigts<\/td>\n9. D\u00e9nombrer les objets<\/td>\n<\/tr>\n
4. Imiter des coups frapp\u00e9s<\/td>\n10. Loto d\u2019objets identiques<\/td>\n<\/tr>\n
5. Dire combien de coups<\/td>\n11. Loto d\u2019objets dispos\u00e9s diff\u00e9remment<\/td>\n<\/tr>\n
6. Dire combien d\u2019objets<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

A titre d\u2019illustration, voil\u00e0 une description plus d\u00e9taill\u00e9e du premier test et du quatri\u00e8me, ainsi que les pourcentages de r\u00e9ussite des enfants selon le degr\u00e9 de difficult\u00e9 des test, que l\u2019adulte fait varier en fonction des r\u00e9ponses donn\u00e9es ou des comportements observ\u00e9s.<\/p>\n

Le premier test tout d\u2019abord\u00a0: le psychologue place 1, 2 ou 3, ou 4, 5 ou plus de 5 objets sur un carton situ\u00e9 devant lui. Il demande ensuite \u00e0 l\u2019enfant de faire la m\u00eame chose avec des cailloux mis \u00e0 sa disposition, en les pla\u00e7ant \u00e0 son tour sur un carton se trouvant en face de lui. Les r\u00e9sultats sont les suivants\u00a0: jusqu\u2019\u00e0 3 ans, si tous les enfants peuvent reproduire correctement l\u2019action de placer deux objets, seuls 19% le font pour 3 objets\u00a0; par contre, \u00e0 3 ans \u00bd, 67% reproduisent l\u2019action de poser 3 objets, mais seule\u00adment 13% pour 4. Enfin, \u00e0 4 ans, 78% reconnaissent 3 objets, mais seuls 25% reproduisent correctement l\u2019action de poser 4 objets.<\/p>\n

Quant au quatri\u00e8me test, en voil\u00e0 la description et les r\u00e9sultats. Le psychologue frappe un petit nombre de coups sur une table \u00e0 la fr\u00e9quence d\u2019un par \u00bd seconde et il demande \u00e0 l\u2019enfant de faire la m\u00eame chose que lui. Les enfants progressent plus lentement et irr\u00e9guli\u00e8rement dans cette t\u00e2che que dans la pr\u00e9c\u00e9dente. \u00c0 3 ans, ils ne sont que 7% \u00e0 reproduire correctement 3 coups\u00a0; \u00e0 3 \u00bd ans, 40% et \u00e0 4 ans 50%.<\/p>\n

Outre la description des t\u00e2ches et les statistiques des r\u00e9ponses, Desc\u0153udres pr\u00e9sente les r\u00e9ponses les plus types des enfants de diff\u00e9rents \u00e2ges pour chacune des diff\u00e9rentes \u00e9preuves. Mais ce qui est le plus frappant dans la pr\u00e9sentation que fait cet auteur du d\u00e9veloppement du nombre chez l\u2019enfant, c\u2019est l\u2019absence de toute analyse conceptuelle ou \u00e9pist\u00e9mologique de ce que peut bien signifier les r\u00e9ponses ou les comportements des enfants. Par exemple, les diff\u00e9rences de r\u00e9sultats entre les deux \u00e9preuves, l\u2019une visuelle et l\u2019autre auditive, de reproduction des actions du psychologue pourraient \u00eatre int\u00e9ressantes \u00e0 analyser dans l\u2019optique de saisir ce que peut bien \u00eatre le nombre pour un enfant de 3 ou 4 ans, donc du point de vue de sa construction chez un jeune enfant. Si Piaget pourra certes b\u00e9n\u00e9ficier de cette culture de l\u2019interrogation du jeune enfant que l\u2019on trouve chez tous les concepteurs de tests servant \u00e0 appr\u00e9cier le niveau de d\u00e9veloppement cognitif des enfants dans diff\u00e9rents domaines, et ici en particulier celui du nombre, il fera en retour accomplir \u00e0 ce genre d\u2019interrogation une v\u00e9ritable r\u00e9volution en l\u2019enrichissant d\u2019un questionnement \u00e9pist\u00e9mologique seul \u00e0 m\u00eame de saisir les raisons internes d\u2019un tel d\u00e9veloppement.<\/p>\n

Nous n\u2019avons pour l\u2019instant illustr\u00e9 que l\u2019\u00e9tat dans laquelle se trouvait la psychologie de l\u2019enfant en ce qui concerne les recherches sur le nombre lorsque Piaget a d\u00e9marr\u00e9 ses propres travaux. D\u2019autres recherches ont \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9es sur le terrain de la psychologie animale et de la psychologie des adultes. Donnons \u00e9galement un bref aper\u00e7u de quelques recherches qui confirmera la g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 de ce constat.<\/p>\n

2. Le nombre en psychologie animale et en ethnologie<\/h5>\n

On trouve dans le remarquable ouvrage sur \u00ab\u00a0L\u2019intelligence avant le langage\u00a0\u00bb que Pierre Janet a publi\u00e9 en 1936 un chapitre d\u2019une quinzaine de pages consacr\u00e9 \u00e0 la \u00ab\u00a0psychologie du nombre\u00a0\u00bb. Ce chapitre confirme le caract\u00e8re peu d\u00e9velopp\u00e9 des travaux relatifs au nombre. Janet commence certes par y affirmer que \u00ab\u00a0la psychologie du nombre est aujourd\u2019hui \u00e0 la mode\u00a0!\u00a0\u00bb\u00a0<\/a>[3]<\/a>, mais la pr\u00e9sentation qu\u2019il en donne r\u00e9v\u00e8le que, si mode il y avait vraiment alors, le traitement de la question restait des plus superficiels et se faisait le plus souvent en dehors des fronti\u00e8res de la psychologie exp\u00e9rimentale.<\/p>\n

Tout d\u2019abord, Janet commence par affirmer que les premiers \u00e0 avoir pr\u00eat\u00e9 quelque attention \u00e0 la psychologie du nombre sont des math\u00e9maticiens et non pas des psychologues. \u00c0 ce point de sa pr\u00e9sentation, Janet ne donne aucun nom de math\u00e9maticiens et ne dit rien de leurs r\u00e9flexions \u00e0 ce sujet, mais on verra tout \u00e0 l\u2019heure que le r\u00e9sultat de cette r\u00e9flexion n\u2019est nullement n\u00e9gligeable du point de vue de la recherche psychologique.<\/a>[4]<\/a> Si, pour Janet, ce sont donc les math\u00e9maticiens qui ont jet\u00e9 les premi\u00e8res bases d\u2019une psychologie du nombre, il n\u2019en demeure pas moins que \u00ab\u00a0depuis quelque temps [les nombres] sont \u00e9tudi\u00e9s par les psychologues, qui essaient de remonter \u00e0 leur origine et de comprendre quelles sont les op\u00e9rations de l\u2019esprit qui leur ont donn\u00e9 naissance\u00a0\u00bb (op. cit., p. 237). Les travaux qu\u2019il mentionne alors rel\u00e8vent soit de la psychologie animale, soit de l\u2019ethnologie, et non pas de la psychologie du d\u00e9veloppement, ce qui confirme l\u2019absence de recherche sur la gen\u00e8se du nombre dans ce sous-domaine de la psychologie.<\/p>\n

Sur le terrain de la psychologie animale, Janet commence par mentionner les travaux portant sur la soi-disant capacit\u00e9 de calcul arithm\u00e9tique des chevaux, qui rel\u00e8vent plus de la charlatanerie que de la science, mais qui ont tout de m\u00eame l\u2019int\u00e9r\u00eat de r\u00e9v\u00e9ler, de mani\u00e8re toute fortuite, que les chevaux sont capables de discriminer des suites de son selon le nombre de sons entendus (ils frapperont 5 ou 7 coups de sabot selon le nombre de sons entendus). Cette capacit\u00e9 de perception de la num\u00e9rosit\u00e9 chez l\u2019animal sera ensuite confirm\u00e9e par des observations ou des exp\u00e9riences qui cette fois ne flirtent plus avec le charlatanisme. Janet mentionne \u00e0 ce sujet des observations d\u00e9montrant la capacit\u00e9 qu\u2019ont des chiennes ou des chattes de reconna\u00eetre que 2 ou 3 de leur port\u00e9e de 5 ou 6 petits leur ont \u00e9t\u00e9 enlev\u00e9s, ou plus pr\u00e9cis\u00e9ment la capacit\u00e9 de r\u00e9agir face \u00e0 des variations de \u00ab\u00a0multiplicit\u00e9\u00a0\u00bb, ou encore \u00e0 reconna\u00eetre ce que Janet appelle des \u00ab\u00a0ensembles-nombres\u00a0\u00bb. Notons que ces observations r\u00e9alis\u00e9es en psychologie animale seront ult\u00e9rieurement v\u00e9rifi\u00e9es, notamment par des recherches exp\u00e9rimentales r\u00e9alis\u00e9es, entre autres, par le psychologue Otto K\u00f6hler r\u00e9v\u00e9lant que des pigeons ou des choucas sont capables de reconna\u00eetre et discriminer des configurations de 4 ou de 5 \u00e9l\u00e9ments.<\/a>[5]<\/a> Ce qu\u2019il y a de tout \u00e0 fait remarquable dans ces diff\u00e9rentes observations, c\u2019est le fait que les animaux sont capables d\u2019apprendre \u00e0 discriminer une configuration de 4 ou 5 \u00e9l\u00e9ments, alors m\u00eame qu\u2019ils n\u2019ont pas appris et ne savent pas discriminer une configuration des \u00ab\u00a0nombres\u00a0\u00bb inf\u00e9rieurs. Mais l\u00e0 encore, il faudra attendre les travaux et les analyses de Piaget pour qu\u2019une vraie conclusion th\u00e9orique soit tir\u00e9e d\u2019un tel fait.<\/p>\n

Quant aux travaux d\u2019ethnologie, qui concernent la psychologie du nombre chez les adultes, les faits mentionn\u00e9s par Janet sont les suivants. Les membres des \u00ab\u00a0soci\u00e9t\u00e9s primitives\u00a0\u00bb (ou des \u00ab\u00a0soci\u00e9t\u00e9s sauvages\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0sans \u00e9criture\u00a0\u00bb, comme les appellera plus tard Levi-Strauss) auraient commenc\u00e9 par distinguer des \u00ab\u00a0ensembles-nombres\u00a0\u00bb compos\u00e9s de petits nombres d\u2019\u00e9l\u00e9ments (2, 3, 5, etc.). Et Janet ajoute cette remarque tr\u00e8s importante (mais dont on peut se demander si elle repose sur de v\u00e9ritables observations)\u00a0: \u00ab\u00a0Des peuples peuvent conna\u00eetre 2 ou 5 sans conna\u00eetre les nombres interm\u00e9diaires et sans ranger les nombres dans leur ordre logique\u00a0\u00bb.<\/a>[6]<\/a> Janet note encore, \u00e0 propos de ces \u00ab\u00a0ensembles-nombres\u00a0\u00bb d\u00e9crits dans le travaux d\u2019ethnologie, que des expressions langagi\u00e8res ont pu \u00eatre invent\u00e9es pour les d\u00e9signer, mais que des parties privil\u00e9gi\u00e9es du corps humain pouvaient \u00eatre utilis\u00e9es comme moyen de \u00ab\u00a0d\u00e9nombrer\u00a0\u00bb de petites collections d\u2019objets. Selon Janet, qui ne se contente plus de rapporter des observations mais ose avancer une interpr\u00e9tation th\u00e9orique\u00a0: \u00ab\u00a0La num\u00e9ration s’est constitu\u00e9e alors d’une mani\u00e8re simple : on a associ\u00e9 les objets que l’on r\u00e9partissait en groupe, que l’on \u00e9prouvait le besoin de ranger avec les divers \u00e9l\u00e9ments de cette s\u00e9rie privil\u00e9gi\u00e9e. En consid\u00e9rant un objet on touche le pouce qui devient le symbole de l’objet, en consid\u00e9rant un second objet on touche l’index et on continue ainsi jusqu’\u00e0 \u00e9puisement des objets. \u00bb (p. 247). Cette interpr\u00e9tation est tout \u00e0 fait int\u00e9ressante, quand bien m\u00eame Janet ne prend pas conscience de l\u2019op\u00e9ration math\u00e9matique fondamentale qui intervient dans un tel comportement, \u00e0 savoir la mise en correspondance terme \u00e0 terme dont on verra le r\u00f4le qu\u2019elle occupe dans l\u2019explication piag\u00e9tienne de la construction du nombre. Le pouce n\u2019est pas le symbole de l\u2019objet\u00a0; il appartient \u00e0 la \u00ab\u00a0s\u00e9rie privil\u00e9gi\u00e9e\u00a0\u00bb d\u2019\u00e9l\u00e9ments avec laquelle on peut mettre en correspondance les objets que l\u2019on cherche \u00e0 d\u00e9nombrer \u2014 s\u00e9rie privil\u00e9gi\u00e9e parce que toujours accessible\u00a0! Mais on verra la semaine prochaine que cette op\u00e9ration de correspondance terme \u00e0 terme ne garantit pas \u00e0 elle seule la pleine acquisition de la notion de nombre.<\/p>\n

Pour terminer ce bref aper\u00e7u du chapitre consacr\u00e9 par Janet \u00e0 la psychologie du nombre, arr\u00eatons-nous encore sur une citation tir\u00e9 d\u2019un ouvrage sur La\u00a0psychologie du nombre et des op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires de l\u2019arithm\u00e9tique<\/em>, publi\u00e9 en 1907 par le math\u00e9maticien S.\u00a0Santerre. Ce dernier y d\u00e9finit comme suit la notion de grandeur arithm\u00e9tique\u00a0: \u00ab\u00a0dire qu’un groupe d’objets est plus grand qu’un autre signifie simplement que dans le rapprochement pr\u00e9c\u00e9dent un groupe n’est \u00e9puis\u00e9 que lorsqu’on arrive \u00e0 un doigt qui dans la r\u00e9citation se trouve toujours apr\u00e8s le nom du doigt qui termine l’autre groupe\u00a0\u00bb (Janet, p.\u00a0247). Comme on le voit, cet extrait permet \u00e0 Janet de relier les observations des ethnologues qu\u2019il vient de pr\u00e9senter \u00e0 l\u2019int\u00e9r\u00eat manifest\u00e9 par les math\u00e9maticiens pour la psychologie du nombre. \u00c0 noter que cet extrait est la seule trace que l\u2019on peut trouver dans l\u2019ouvrage de Janet d\u2019une certaine attention port\u00e9e \u00e0 un probl\u00e8me qui sera au centre de la psychologie piag\u00e9tienne du d\u00e9veloppement cognitif, trace corrobor\u00e9e par le sous-titre donn\u00e9 \u00e0 son livre par Santerre\u00a0: \u00ab\u00a0la gen\u00e8se des premi\u00e8res notions de l\u2019arithm\u00e9tique. Les notions de suite, de nombre, de somme et de diff\u00e9rence\u00a0\u00bb.\u00a0<\/a>[7]<\/a><\/p>\n

Ce que nous pouvons donc conclure de cet examen du contexte scientifique dans lequel Piaget a initi\u00e9 ses travaux sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant, c\u2019est qu\u2019en 1930, la psychologie n\u2019avait pas encore mis \u00e0 son programme un tel objet de recherche, cibl\u00e9 moins sur la question de savoir \u00e0 quel \u00e2ge un enfant acqui\u00e8re telle ou telle notion, que sur la question de savoir comment s\u2019acquiert ou se construit le nombre. La conception implicite qui \u00e9tait alors le plus souvent v\u00e9hicul\u00e9e dans ces recherches sur l\u2019\u00e2ge d\u2019acquisition du nombre (comme de tout autre notion) \u00e9tait celle d\u00e9rivant directement de l\u2019empirisme et de l\u2019associationnisme, \u00e0 savoir la conception selon laquelle la simple association d\u2019id\u00e9es ou la simple r\u00e9p\u00e9tition d\u2019un encha\u00eenement d\u2019actions (par exemple pointer un objet, puis un autre, puis un autre, ou, l\u2019apprentissage par c\u0153ur des tables de l\u2019addition, de la multiplication, etc.) aboutirait m\u00e9caniquement \u00e0 cette acquisition. Quant \u00e0 savoir ce que peut bien signifier le nombre, nul psychologue n\u2019avait l\u2019id\u00e9e de s\u2019interroger \u00e0 ce sujet. Si sur ce point qui implique une jonction de la psychologie et de l\u2019\u00e9pist\u00e9mologie, Piaget a su, comme on le verra, prendre appui sur le contexte intellectuel dans lequel il a d\u00e9velopp\u00e9 ses recherches, c\u2019est presque exclusivement du c\u00f4t\u00e9 des philosophes et des math\u00e9maticiens eux-m\u00eames qu\u2019il a pu le faire. Examinons donc maintenant quelle \u00e9tait la situation du c\u00f4t\u00e9 de la philosophie ainsi que du c\u00f4t\u00e9 des math\u00e9maticiens et des logiciens.<\/p>\n

B. L\u2019\u00e9pist\u00e9mologie du nombre en philosophie et chez les math\u00e9maticiens philosophes<\/h4>\n

Commen\u00e7ons par rappeler que l\u2019\u00e9pist\u00e9mologie, ou plus anciennement la philosophie des sciences, sont des disciplines dans lesquelles on s\u2019interroge sur la signification des notions fondamentales des diff\u00e9rences sciences, la nature de leur objet, l\u2019origine des connaissances ou encore leur valeur de v\u00e9rit\u00e9 et leur fondement. Or, assez curieusement, et \u00e0 quelques exception notables dont celle, longtemps rest\u00e9e \u00e9nigmatique, de la notion d\u2019infini, ce n\u2019est qu\u2019au 19\u00e8me<\/sup> si\u00e8cle que les math\u00e9maticiens en sont arriv\u00e9s \u00e0 s\u2019interroger sur la signification et l\u2019origine de l\u2019une des notions les plus fondamentales de leur discipline, \u00e0 savoir le nombre. La raison en est vraisemblablement que le nombre, comme la notion d\u2019espace, a \u00e9t\u00e9 con\u00e7ue ou du moins connue bien avant le d\u00e9but de ce que l\u2019on appelle la science, donc plus pr\u00e9cis\u00e9ment bien avant le d\u00e9but de la science grecque, et que, dans son usage courant et tout \u00e0 fait commun, le nombre ne pose aucun probl\u00e8me de compr\u00e9hension aux adultes et s\u2019impose avec une \u00e9vidence et une n\u00e9cessit\u00e9 telle que s\u2019interroger \u00e0 son sujet a d\u00fb longtemps para\u00eetre inutile, sauf \u00e0 ces \u00e9ternels questionneurs que sont les philosophes. Ce n\u2019est d\u2019ailleurs que chez les philosophes \u00e0 l\u2019\u00e2me de math\u00e9maticien \u2014Platon notamment\u2014 que le probl\u00e8me de la signification et de la nature du nombre s\u2019est impos\u00e9, mais sans que ces philosophes parviennent \u00e0 des r\u00e9sultats convaincants et durables, comme va nous le montrer un bref d\u00e9tour que nous allons faire en histoire de la philosophie, d\u00e9tour qui, de Platon \u00e0 Kant, nous conduira jusqu\u2019au seuil des importants travaux entrepris cette fois par les math\u00e9maticiens du 19\u00e8me<\/sup> si\u00e8cle et du d\u00e9but du 20\u00e8me<\/sup>, travaux qui offrent le socle th\u00e9orique \u00e0 partir desquels Piaget entreprendra ses recherches sur la psychogen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant.<\/p>\n

1. De quelques apports de la philosophie classique<\/big><\/h5>\n

Comme mentionn\u00e9 ci-dessus, Platon<\/em> est l\u2019un des tout premiers philosophes \u00e0 s\u2019\u00eatre s\u00e9rieusement pench\u00e9 sur cette question de la signification et de la nature du nombre. Si la solution qu\u2019il a esquiss\u00e9e il y a plus de 2000 ans nous para\u00eet aujourd\u2019hui bien myst\u00e9rieuse, elle a longtemps marqu\u00e9 les esprits. Cette solution repose sur les notions m\u00e9taphysiques de l\u2019Un et de la Dyade ind\u00e9termin\u00e9e, et n\u2019est pas sans conserver l\u2019aura quasi mystique et religieuse que le nombre pouvait avoir chez les math\u00e9maticiens grecs de l\u2019\u00e9cole de Pythagore (pour qui tout \u00e9tait nombre ou se pliait \u00e0 la loi des nombres rationnels). L\u2019Un, c\u2019est la forme de l\u2019\u00eatre absolu, du Bien\u00a0; la Dyade, c\u2019est la forme propre aux relations duales pouvant \u00eatre \u00e9tablies entre des couples d\u2019objets (par exemple, le grand et le petit, notions consid\u00e9r\u00e9es non pas comme relatives, mais comme absolues). L\u2019action de l\u2019Un sur toute diade ind\u00e9termin\u00e9e ferait surgir l\u2019Id\u00e9e du Deux, la forme des deux \u00e9l\u00e9ments identiques et pourtant distincts de toute dualit\u00e9, le Deux auxquels participeraient tous les couples d\u2019\u00eatres sensibles.\u00a0<\/a>[8]<\/a> Quant \u00e0 savoir comment na\u00eetraient pr\u00e9cis\u00e9ment les autres nombres \u00e0 partir du Un et du Deux, cela reste \u00e0 mes yeux un myst\u00e8re, aucun des ouvrages que j\u2019ai consult\u00e9 \u00e0 ce sujet ne parvenant \u00e0 clarifier ce point. Cela dit, une chose est facilement compr\u00e9hensible chez Platon\u00a0: sa th\u00e8se selon laquelle les nombres ont leur fondement dans le monde des Id\u00e9es, un monde qui pr\u00e9existe \u00e0 toute pens\u00e9e humaine et que celle-ci peut rejoindre par le biais de la contemplation (cf. le mythe de la Caverne, o\u00f9 l\u2019on voit les pauvres ignorants que nous sommes sortir de celle-ci et, \u00e9clair\u00e9s par le Soleil, d\u00e9couvrir ce monde des Id\u00e9es en se d\u00e9tournant du monde sensible au contact duquel nous vaquons dans notre vie quotidienne). Et c\u2019est cette th\u00e8se-l\u00e0, et non pas la th\u00e9orie \u00e9sot\u00e9rique que Platon propose de l\u2019origine de nos nombres familiers (reflet de l\u2019Un, de la Dualit\u00e9 et des Nombres qu\u2019ils engendrent) qui assurera au philosophe grec une place durable chez les math\u00e9maticiens, dans la mesure o\u00f9 le monde des Id\u00e9es, dont nos nombres ne sont que le reflet, garantit la permanence et l\u2019universalit\u00e9 des v\u00e9rit\u00e9s math\u00e9matiques, permanence dont Platon avait tr\u00e8s bien saisi l\u2019importance philosophique, \u00e0 savoir la garantie de l\u2019existence d\u2019une science \u00e9chappant au relativisme des opinions humaines.<\/p>\n

Le deuxi\u00e8me pas franchi par la philosophie grecque sera r\u00e9alis\u00e9 par l\u2019\u00e9l\u00e8ve le plus connu de Platon, \u00e0 savoir Aristote<\/em>. Celui-ci, se distan\u00e7ant, au contraire de son ma\u00eetre, de toute tentation mystique et redescendant d\u2019une certaine fa\u00e7on sur terre, c\u2019est-\u00e0-dire abandonnant la th\u00e8se d\u2019un monde des Id\u00e9es garant de la science humaine, cherchera \u00e0 donner au nombre une origine et une signification un peu moins myst\u00e9rieuse. Selon sa d\u00e9finition, au contraire des grandeurs continues, le nombre se d\u00e9finirait comme une quantit\u00e9 discr\u00e8te, c\u2019est-\u00e0-dire compos\u00e9e de parties indivises et sans rapport entre elles, ou une \u00ab\u00a0multitude qui a l\u2019unit\u00e9 pour mesure\u00a0\u00bb (M\u00e9taphysique<\/em>, livre X, texte 21), ou encore comme toute quantit\u00e9 qui serait \u00ab\u00a0divisible par deux ou par plus de parties aliquotes\u00a0\u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire contenues un nombre exact de fois dans quelque quantit\u00e9 (ainsi une quantit\u00e9 pourra valoir 4 si elle contient 4 parties \u00e9gales). Bien s\u00fbr, une telle d\u00e9finition qui en arrive \u00e0 d\u00e9finir le nombre comme \u00e9tant une multitude compos\u00e9e de uns ne nous aide pas beaucoup \u00e0 comprendre ce qu\u2019est v\u00e9ritablement la nature du nombre, quand bien m\u00eame rien n\u2019est plus myst\u00e9rieux dans cette d\u00e9finition. Quoi qu\u2019il en soit, pendant des si\u00e8cles on en restera l\u00e0, dans cet effort de dire ce qu\u2019est le nombre, ou tout au plus les philosophes et math\u00e9maticiens platoniciens ou aristot\u00e9liciens s\u2019efforceront-ils de compl\u00e9ter ou d\u2019affiner l\u2019explication ou la d\u00e9termination du nombre livr\u00e9e par Platon et Aristote (ce qui n\u2019emp\u00eachera pas, bien s\u00fbr, la science des nombres de progresser consid\u00e9rablement en d\u00e9pit du manque de clart\u00e9 du nombre \u00e9l\u00e9mentaire sur lequel toute cette science s\u2019\u00e9difie peu \u00e0 peu\u00a0<\/a>[9]<\/a>). Ce n\u2019est qu\u2019\u00e0 la fin du 18\u00e8me<\/sup> si\u00e8cle, avec Kant, que la question de la signification du nombre prend une nouvelle forme, conform\u00e9ment au tournant radical qu\u2019il impose au probl\u00e8me des fondements des sciences math\u00e9matiques et physiques.<\/p>\n

L\u2019essentiel de ce tournant consiste en ceci. Kant<\/em> est parti d\u2019une interrogation sur les conditions de possibilit\u00e9 des trois sciences dont il ne remettait pas en question la valeur de v\u00e9rit\u00e9 ou de certitude\u00a0: l\u2019arithm\u00e9tique, la g\u00e9om\u00e9trie et la physique (newtonienne). Les interpr\u00e9tations dominantes qui existaient de ces disciplines revenaient soit, pour la premi\u00e8re ou les deux premi\u00e8res, \u00e0 nier leur objectivit\u00e9<\/em> ou leur f\u00e9condit\u00e9<\/em> (toute connaissance math\u00e9matique ne serait qu\u2019apparence et se r\u00e9duirait \u00e0 un simple instrument d\u2019expression des lois physiques tir\u00e9es de l\u2019exp\u00e9rience, ou alors serait enti\u00e8rement incluse dans des propositions premi\u00e8res, des principes de la raison pure, la capacit\u00e9 d\u2019engendrer de nouvelles v\u00e9rit\u00e9s, de nouveaux \u00eatres math\u00e9matiques non inclus dans ces principes apriori de la raison pure n\u2019\u00e9tant qu\u2019un mirage), soit \u00e0 soutenir que ces trois disciplines n\u2019auraient pour seul fondement que l\u2019exp\u00e9rience, purement et simplement, ce qui impliquerait l\u2019absence de n\u00e9cessit\u00e9<\/em> des jugements de connaissances formul\u00e9s en leur sein, et donc un scepticisme<\/em> radical quant \u00e0 la possibilit\u00e9 d\u2019une science d\u2019acqu\u00e9rir des connaissances tout \u00e0 la fois nouvelles et s\u2019imposant n\u00e9cessairement \u00e0 tout \u00eatre pourvu de raison. Puisqu\u2019aux yeux de Kant l\u2019existence de fait d\u2019une arithm\u00e9tique, d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie et d\u2019une physique s\u2019imposant avec la plus grande \u00e9vidence ne faisait aucun doute, il lui fallait rechercher une solution d\u00e9montrant le caract\u00e8re tout \u00e0 la fois objectif, f\u00e9cond et n\u00e9cessaire des connaissances atteintes par ces trois disciplines.<\/p>\n

Concernant l\u2019arithm\u00e9tique, et donc le nombre, voil\u00e0 comment Kant aboutit \u00e0 faire reposer son caract\u00e8re tout \u00e0 la fois n\u00e9cessaire, objectif et synth\u00e9tique (ou constructif) sur l\u2019une des deux formes apriori<\/em> \u2014c\u2019est-\u00e0-dire non issue de l\u2019exp\u00e9rience\u2014 de la sensibilit\u00e9, \u00e0 savoir le temps<\/em> (l\u2019espace, deuxi\u00e8me forme apriori de la sensibilit\u00e9, \u00e9tant quant \u00e0 lui condition de possibilit\u00e9 de la g\u00e9om\u00e9trie). Pour qu\u2019il y ait science au sens le plus fort du terme, il faut, d\u2019un c\u00f4t\u00e9, des concepts, des jugements et des raisonnements \u2014donc un apport de la raison\u2014, et de l\u2019autre c\u00f4t\u00e9, des objets ou plus pr\u00e9cis\u00e9ment un apport de la sensibilit\u00e9 et de l\u2019exp\u00e9rience. Pour les sciences physiques, l\u2019apport de la raison tient avant tout dans la cat\u00e9gorie apriori de la causalit\u00e9 et des notions qui s\u2019y rattachent (la force, etc.), et l\u2019apport du p\u00f4le objet de toute connaissance, dans l\u2019exp\u00e9rience (l\u2019existence de r\u00e9gularit\u00e9s empiriques). En physique, la possibilit\u00e9 de nouvelles connaissances tient in<\/em> fine<\/em> dans l\u2019existence de cet apport de l\u2019exp\u00e9rience (et non des seuls instruments logico-math\u00e9matiques que la raison construit pour le conna\u00eetre). Une arithm\u00e9tique qui proc\u00e9derait de m\u00eame ne se distinguerait pas des sciences physiques. Mais alors elle serait d\u00e9pourvue de ce caract\u00e8re de f\u00e9condit\u00e9 ou de constructivit\u00e9 interne<\/em> qui lui est propre, mais aussi, pouvons-nous ajouter aujourd\u2019hui, d\u2019une sorte de permanence qui la caract\u00e9rise bien plus que la science physique (notre arithm\u00e9tique \u00e9l\u00e9mentaire ne se distingue pas de celle d\u2019Aristote\u00a0; notre physique \u00e9l\u00e9mentaire, oui). L\u2019arithm\u00e9tique, comme d\u2019ailleurs la g\u00e9om\u00e9trie \u00e9l\u00e9mentaire, n\u2019\u00e9tant en rien une science physique, c\u2019est donc ailleurs qu\u2019il faut chercher ce qui leur assure leur f\u00e9condit\u00e9 et leur objectivit\u00e9. Cet ailleurs, c\u2019est dans l\u2019intuition sensible formelle, soit du temps (pour l\u2019arithm\u00e9tique) soit de l\u2019espace (pour la g\u00e9om\u00e9trie) que Kant a cru pouvoir trouver la solution, pour autant que ces deux intuitions soient vid\u00e9es de tout contenu (sinon, l\u2019une et l\u2019autre se confondraient \u00e0 nouveau avec la physique, abstraction faite du r\u00f4le fondamental que joue dans celle-ci la causalit\u00e9, cat\u00e9gorie qui n\u2019intervient ni en arithm\u00e9tique, ni en g\u00e9om\u00e9trie pure). Une fois leur contenu mis de c\u00f4t\u00e9, ni le temps ni l\u2019espace, comme simples formes vides ou purs contenants, ne sauraient livrer des objets \u00e0 l\u2019arithm\u00e9tique et \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie. Comment le math\u00e9maticien g\u00e9om\u00e8tre va-t-il donc se donner les objets sur lesquels portera sa science\u00a0? R\u00e9ponse de Kant\u00a0: en tra\u00e7ant gr\u00e2ce \u00e0 sa capacit\u00e9 d\u2019imagination des figures dans l\u2019espace (ces figures peuvent certes \u00eatres mat\u00e9rialis\u00e9es par le trac\u00e9 d\u2019une craie sur un tableau noir\u00a0; mais ce que Kant a en vue, ce n\u2019est pas le trac\u00e9 physique lui-m\u00eame, mais le sch\u00e8me qui pr\u00e9side au trac\u00e9, par exemple le sch\u00e8me li\u00e9 \u00e0 la notion de cercle et qui donne naissance au cercle virtuel parfait, fictivement imagin\u00e9 par le g\u00e9om\u00e8tre).<\/p>\n

De m\u00eame pour le nombre \u00e9l\u00e9mentaire\u00a0: pour Kant, notre intuition apriori du temps, c\u2019est-\u00e0-dire notre intuition \u00e9pur\u00e9e de tous les \u00e9v\u00e9nements qui s\u2019y encha\u00eenent mat\u00e9riellement \u00a0et dont ne subsiste que la pure succession d\u2019un temps \u00e0 un autre, livre le fondement intuitif qui pourra donner au nombre son assise et son caract\u00e8re d\u2019objet. Comme par ailleurs l\u2019esprit humain est dot\u00e9 apriori des concepts d\u2019unit\u00e9 et de totalit\u00e9 (tous deux rattach\u00e9s \u00e0 la cat\u00e9gorie de quantit\u00e9), la jonction de ce fondement intuitif et de ces concepts permet de construire la suite des nombres. Par exemple, nous concevons un nombre tel que cinq en ajoutant un \u00e0 la totalit\u00e9 d\u00e9j\u00e0 construite de quatre unit\u00e9s, et idem pour celle-ci qui se construit en ajoutant un \u00e0 la totalit\u00e9 trois, etc. Apr\u00e8s avoir construit le nombre cinq, nous pouvons construire une autre quantit\u00e9, disons sept, en ajoutant au nombre cinq d\u00e9j\u00e0 construit le nombre deux, lui-m\u00eame r\u00e9sultant des deux actes successifs de poser l\u2019unit\u00e9 et de lui ajouter un. Et ainsi de suite pour tous les nombres finis, qui sont en nombre potentiellement infini, puisqu\u2019il est toujours possible d\u2019ajouter un au nombre le plus grand d\u00e9j\u00e0 r\u00e9ellement ou fictivement construit.<\/p>\n

C\u2019est, je crois, ce genre d\u2019intuitions qui a permis \u00e0 Kant de d\u00e9finir le nombre comme \u00e9tant un sch\u00e8me, c\u2019est-\u00e0-dire la \u00ab repr\u00e9sentation d’un proc\u00e9d\u00e9 g\u00e9n\u00e9ral de l’imagination pour procurer \u00e0 un concept son image \u00bb, en d\u2019autres termes un proc\u00e9d\u00e9 g\u00e9n\u00e9ral de l\u2019imagination permettant de donner \u00e0 un concept son objet, par exemple au concept du nombre un<\/em> son image (au moyen de l\u2019acte de poser une unit\u00e9), au nombre deux son image (l\u2019acte de poser un puis de poser \u00e0 nouveau un), etc., le nombre n<\/em> se distinguant du nombre qui le pr\u00e9c\u00e8de pr\u00e9cis\u00e9ment dans la mesure ou il est le successeur de ce nombre fictivement ou r\u00e9ellement d\u00e9j\u00e0 construit.<\/p>\n

Cette d\u00e9finition ou cette notion n\u2019est peut-\u00eatre pas beaucoup plus avanc\u00e9e que celle propos\u00e9e par Aristote (\u00e0 qui l\u2019id\u00e9e de succession que l\u2019on peut rattacher au nombre n\u2019est pas compl\u00e8tement \u00e9trang\u00e8re). Mais elle a un grand avantage dans la mesure o\u00f9, comme dans toute sa philosophie, Kant ne cherche plus dans le monde pr\u00e9existant (par exemple dans la physique du mouvement) le fondement de l\u2019arithm\u00e9tique, mais recherche celui-ci dans ce qui provient du sujet lui-m\u00eame. La recherche de Kant ne sort jamais de l\u2019exp\u00e9rience humaine, envisag\u00e9e non pas sous l\u2019angle de la d\u00e9couverte de faits ext\u00e9rieurs, mais sous l\u2019angle des objets que le math\u00e9maticien, et m\u00eame avant lui l\u2019humain se donne, en les construisant de son propre chef, non pas arbitrairement, comme cela pourrait \u00eatre le cas d\u2019un jeu quelconque, mais sous la contrainte de sa propre raison, des concepts qui lui sont propres ainsi que des formes de sa sensibilit\u00e9, abstraction faite de leur contenu sensible (la pure succession temporelle, et l\u2019espace vide et illimit\u00e9 que semblait alors fonder la physique newtonienne, mais qui n\u2019avaient de r\u00e9alit\u00e9 que dans l\u2019intuition temporelle et dans l\u2019intuition spatiale, au demeurant toutes deux acquises seulement au terme d\u2019une longue psychogen\u00e8se \u2014comme nous l\u2019avons vu pour l\u2019espace dans un pr\u00e9c\u00e9dent cours\u2014, ce que Kant ne pouvait savoir ni m\u00eame pressentir).<\/p>\n

En un mot, ce qui distingue la notion kantienne de la notion aristot\u00e9licienne du nombre, c\u2019est qu\u2019elle aboutit \u00e0 construire rationnellement le concept de chaque nombre en m\u00eame temps qu\u2019est cr\u00e9\u00e9 l\u2019objet qui le concr\u00e9tise. Certes il nous est impossible de diff\u00e9rencier par l\u2019imagination 1000 de 1001, sauf \u00e0 imaginer l\u2019acte par lequel nous ajouterions 1 au mille autre actes nous ayant d\u00e9j\u00e0 permis d\u2019atteindre 1000. Le sch\u00e8me producteur de l\u2019objet correspondant au concept 1001 est clairement distinct de celui du nombre 1000, puisque nous savons d\u2019avance que le produit du premier diff\u00e8re du produit du second par l\u2019ajout d\u2019une unit\u00e9. Et contrairement \u00e0 ce qui se passe pour la conception platonicienne du nombre, le ciel ne descend pour ainsi dire plus du soleil vers la terre, en balayant notre ignorance\u00a0: c\u2019est nous-m\u00eames, avec notre raison et notre intuition, qui construisons ces objets et leurs concepts (certes, chez Kant, au moyen de quelques cat\u00e9gories et d\u2019une forme d\u2019intuition apriori pr\u00e9alablement donn\u00e9es sans que nous ayons \u00e0 les construire ou \u00e0 les enrichir, th\u00e8se qui sera tr\u00e8s vite remise en question par les progr\u00e8s des sciences physiques et math\u00e9matiques, et par les conclusions qu\u2019en tireront les philosophes des sciences, y compris ceux s\u2019inscrivant dans la filiation kantienne, quant aux limites de la solution kantienne, puis qui plus tard sera \u00e9galement d\u00e9mentie par les recherches piag\u00e9tiennes sur la gen\u00e8se de ces cat\u00e9gories, concepts et formes de l\u2019intuition).<\/p>\n

Avant d\u2019examiner le contexte non plus proprement philosophique, mais li\u00e9 au travaux des math\u00e9maticiens philosophes de la fin du 19e<\/sup> si\u00e8cle et du d\u00e9but du 20e<\/sup>, qui vont chercher \u00e0 d\u00e9couvrir ce qu\u2019est le nombre, c\u2019est-\u00e0-dire comment il peut math\u00e9matiquement \u00eatre construit ou d\u00e9fini, notons encore que la notion de nombre que livre Kant est partiellement applicable aux constats que les psychologues ou les \u00e9thologistes peuvent faire chez les animaux adultes (ou chez les b\u00e9b\u00e9s humains quelques semaines apr\u00e8s leur naissance). Les animaux sont capable de discriminer une courte s\u00e9rie de n<\/em> sons s\u2019encha\u00eenant les uns \u00e0 la suite des autres d\u2019une s\u00e9rie plus longue ou encore plus courte. C\u2019est par exemple le cas d\u2019un corbeau capable d\u2019attendre que quatre personnes soient sorties l\u2019une apr\u00e8s l\u2019autre d\u2019une tour et s\u2019en soient \u00e9loign\u00e9es pour se rendre dans son nid perch\u00e9 au haut de cette tour\u00a0<\/a>[10]<\/a>. Mais bien entendu, un tel comportement n\u2019implique pas que l\u2019animal poss\u00e8de le concept de nombre. En effet, rien ne prouve qu\u2019il utilise les concepts de totalit\u00e9 et d\u2019unit\u00e9, ni l\u2019action de totalisation qui lui permettrait de saisir l\u2019embo\u00eetement des nombres les uns dans les autres (le fait math\u00e9matique que 4, c\u2019est 3+1, etc.).<\/p>\n

D\u2019un autre c\u00f4t\u00e9, la solution de Kant, qui fait reposer la construction du nombre sur la relation de succession temporelle, ne permet pas d\u2019expliquer le comportement de diff\u00e9rentes esp\u00e8ces d\u2019oiseaux (dont des corbeaux) dont des exp\u00e9riences r\u00e9v\u00e8lent qu\u2019ils peuvent par exemple discriminer deux ensembles de 4 ronds noirs dessin\u00e9s sur une feuille d\u2019un autre ensemble ne comportant que 2 ronds noirs (les tailles et la disposition des points pouvant varier arbitrairement)\u00a0<\/a>[11]<\/a>. Plus g\u00e9n\u00e9ralement, dans l\u2019une des configuration on a n<\/em> objets, et dans l\u2019autre m<\/em> objets pr\u00e9sents simultan\u00e9ment dans le champ de vision d\u2019un corbeau. Pour autant que n<\/em> et m<\/em> soit petits, celui-ci soul\u00e8ve sans h\u00e9siter un couvercle sur lequel est trac\u00e9 n<\/em> de ces points sans essayer de soulever un second couvercle contenant m<\/em> points, si auparavant il a per\u00e7u un pattern de n<\/em> points et qu\u2019il a appris, au cours de pr\u00e9c\u00e9dentes sessions d\u2019exp\u00e9rience, que lorsqu\u2019il per\u00e7oit un pattern de x<\/em> points et qu\u2019on lui pr\u00e9sente par ailleurs des r\u00e9cipients avec des couvertes portant des nombres variables de points, le pot dans lequel il trouvera la nourriture est celui dont le couvercle contient le m\u00eame \u00ab\u00a0nombre\u00a0\u00bb x<\/em> de points que le pattern pr\u00e9alablement per\u00e7u. Ici, il n\u2019y a pas de s\u00e9rie temporelle\u00a0; tout repose sur une activit\u00e9 de correspondance figurale\u00a0<\/a>[12]<\/a> entre les parties composant deux objets. Dans ce cas, il semble donc que l\u2019animal sache d\u2019embl\u00e9e distinguer les num\u00e9rosit\u00e9s perceptives<\/em> de configurations spatiales<\/em> compos\u00e9es d\u2019un nombre variable d\u2019\u00e9l\u00e9ments apparaissant simultan\u00e9ment dans le champ visuel. Mais l\u00e0 encore on ne saurait conclure de cette capacit\u00e9 pr\u00e9coce \u00e0 la pr\u00e9sence de la notion de nombre dans la mesure o\u00f9 la simple activation d\u2019un sch\u00e8me assurant la correspondance figurale compl\u00e8te ou seulement partielle des parties de telle configuration avec les parties du pattern initial suffit \u00e0 reconna\u00eetre si leur num\u00e9rosit\u00e9 est similaire ou non, alors m\u00eame qu\u2019une telle mise en correspondance ne suffit pas \u00e0 d\u00e9terminer la v\u00e9ritable \u00e9quivalence num\u00e9rique de deux collections, comme le r\u00e9v\u00e9leront les exp\u00e9riences r\u00e9alis\u00e9es par Piaget et ses collaborateurs sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant. Ces exp\u00e9riences rejoignent ainsi le constat que peut faire tout adulte\u00a0: nous pouvons tr\u00e8s bien reconna\u00eetre que telle collection contient un plus grand nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments qu\u2019une autre, sans que nous ayons connaissance du nombre exact d\u2019\u00e9l\u00e9ments dans les deux collections. La propri\u00e9t\u00e9 de num\u00e9rosit\u00e9, qui est certainement l\u2019une, mais seulement l\u2019une des bases de la construction de la notion de nombre est bien plus \u00e9l\u00e9mentaire que cette notion et ne saurait \u00e0 elle-seule \u00e9clairer ce que sont le nombre et son concept, et comment tous deux s\u2019acqui\u00e8rent chez l\u2019enfant.<\/p>\n

Cela dit, quittons ce d\u00e9tour historique qui a abouti \u00e0 la r\u00e9volution que Kant a fait accomplir au questionnement philosophique sur la nature et l\u2019origine du nombre, et voyons quelques-uns au moins des apports des math\u00e9maticiens-philosophes des 19\u00e8me<\/sup> si\u00e8cle et 20\u00e8me<\/sup> \u00e0 la r\u00e9solution de ce probl\u00e8me.<\/p>\n

2. Le nombre pour quelques math\u00e9maticiens-philosophes et logiciens de la fin du 19e<\/sup> \u2013 d\u00e9but du 20e<\/sup> si\u00e8cle<\/big><\/h5>\n

D\u00e8s le 19\u00e8me<\/sup> si\u00e8cle, les math\u00e9maticiens en sont arriv\u00e9s \u00e0 ne plus se contenter de la solidit\u00e9 de la notion commune et toute intuitive du nombre comme garante de la v\u00e9racit\u00e9 et de la solidit\u00e9 de la science arithm\u00e9tique \u2014\u00a0apr\u00e8s tout, la science des nombres a travers\u00e9 les si\u00e8cles sans remise en question autre que celle consistant \u00e0 admettre l\u2019entr\u00e9e de nouvelles esp\u00e8ces de nombres (et en tout premier lieu les nombres irrationnels) aux c\u00f4t\u00e9s de l\u2019arithm\u00e9tique \u00e9l\u00e9mentaire issue d\u2019une pratique qui a fait ses preuves depuis de mill\u00e9naires. L\u2019exigence de d\u00e9termination intellectuelle la plus \u00e9lev\u00e9e possible a fini par s\u2019imposer non seulement face \u00e0 des notions telles que celles des irrationnels ou encore du nombre infini, admis depuis plusieurs si\u00e8cles sans que l\u2019on ne sache pr\u00e9cis\u00e9ment ce qu\u2019il convenait d\u2019entendre par l\u00e0, mais face au nombre \u00ab\u00a0naturel\u00a0\u00bb lui-m\u00eame. Ou, plus pr\u00e9cis\u00e9ment, le probl\u00e8me s\u2019est impos\u00e9 aux math\u00e9maticiens de fournir une base absolument certaine \u00e0 tout l\u2019immense \u00e9difice construit \u00e0 partir de la notion la plus \u00e9l\u00e9mentaire de nombre, d\u2019o\u00f9 un effort accru de recherche de d\u00e9finition apte \u00e0 satisfaire cette exigence de clarification et de d\u00e9termination des fondements de l\u2019arithm\u00e9tique. De cette histoire relativement r\u00e9cente, je ne retiendrai ici que quelques moments qui me paraissent aptes \u00e0 \u00e9clairer la dimension \u00e9pist\u00e9mologique des travaux de Piaget sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant, et donc la conception \u00e0 laquelle il parvient de la notion de nombre \u00e9l\u00e9mentaire, conception issue tout autant de sa connaissance des r\u00e9flexions et conceptions des math\u00e9maticiens que des faits psychologiques recueillis dans l\u2019examen de cette gen\u00e8se, et qui en retour peut contribuer \u00e0 sugg\u00e9rer quelque issue au math\u00e9maticien d\u00e9sirant clarifier de son c\u00f4t\u00e9 ce que peut bien \u00eatre ce nombre naturel, qui est l\u2019une des bases voire m\u00eame la base principale de sa discipline.<\/p>\n

Commen\u00e7ons donc ce deuxi\u00e8me survol de l\u2019histoire des conceptions du nombre par une affirmation du math\u00e9maticien Kronecker<\/strong>, qui d\u00e9limite assez bien le point de d\u00e9part des travaux math\u00e9matiques sur les fondements de l\u2019arithm\u00e9tique, donc de la science des nombres. Voil\u00e0 comment l\u2019un des plus illustres th\u00e9oriciens de cette discipline r\u00e9sumait, peut-\u00eatre sous forme de boutade, sa th\u00e9orie des nombres\u00a0: \u00ab\u00a0Dieu a cr\u00e9\u00e9 la suite des nombres entiers, tout le reste est fabriqu\u00e9 par le math\u00e9maticien\u00a0\u00bb. En d\u2019autres termes, le concept de nombre premier est un donn\u00e9 pr\u00e9alable que nous n\u2019avons pas \u00e0 pr\u00e9ciser au-del\u00e0 de l\u2019intuition primitive que nous en avons. C\u2019est sur ce donn\u00e9 pr\u00e9alable que la science des nombres et au-del\u00e0 toute la math\u00e9matique peut \u00eatre \u00e9difi\u00e9e (y compris les irrationnels tels que le racine carr\u00e9e, ou encore les imaginaires, qui \u00e0 ses yeux ne sont pas des nombres). Une telle prise de position indique bien l\u2019ampleur du probl\u00e8me que se posaient les math\u00e9maticiens qui, \u00e0 la diff\u00e9rence de Kronecker, cherchaient un fondement \u00e0 la notion de nombre naturel, c\u2019est-\u00e0-dire de nombre entier positif. Trois auteurs qui ont marqu\u00e9 l\u2019histoire de cette recherche des fondements m\u00e9ritent qu\u2019on s\u2019arr\u00eatent sur leurs conceptions respectives du nombre \u00e9l\u00e9mentaire, dans la mesure o\u00f9 ces conceptions \u00e9clairent le sens des recherches de Piaget sur la gen\u00e8se de cette notion chez l\u2019enfant\u00a0: Dedekind, Cantor et Russell, qui tous trois ont tent\u00e9 de donner une d\u00e9finition logique du nombre, \u00e9clairant chacune l\u2019une des facettes possibles de son concept.<\/p>\n

Richard Dedekind (1831-1916)<\/big><\/h6>\n

La pr\u00e9sentation que je vais esquisser de la solution propos\u00e9e par cet auteur est assez d\u00e9taill\u00e9e, quoique forc\u00e9ment simplificatrice. Disons d\u2019embl\u00e9e en quoi cette solution est \u00e9clairante par rapport aux futures recherches et analyses de Piaget\u00a0: elle cerne quelques concepts (la notion de correspondance, notamment) qui seront au c\u0153ur de l\u2019enqu\u00eate piag\u00e9tienne, et surtout, elle repose sur une profonde proximit\u00e9 th\u00e9orique avec la th\u00e8se \u00e9pist\u00e9mologique constructiviste \u00e0 laquelle Piaget aboutira quelques d\u00e9cennies plus tard.<\/p>\n

Entre 1872 et 1878, Dedekind r\u00e9dige la premi\u00e8re version d\u2019un \u00e9crit destin\u00e9 \u00e0 devenir fameux\u00a0: \u00ab\u00a0Was sind und was sollen die Zahlen\u00a0\u00bb (\u00ab\u00a0Que sont et que valent (ou \u00e0 quoi servent) les nombres\u00a0?\u00a0\u00bb) <\/a>[13]<\/a>. Cette \u00e9dition a \u00e9galement pour sous-titre \u00ab\u00a0Tentative d\u2019analyse du concept de nombre d\u2019un point de vue na\u00eff\u00a0\u00bb, et effectivement, ce sont bien nos nombres les plus familiers dont il est question, ces m\u00eames nombres que pouvait concevoir un berger avant m\u00eame la cr\u00e9ation de la science arithm\u00e9tique, lorsqu\u2019il tra\u00e7ait des traits sur un b\u00e2ton pour d\u00e9nombrer les b\u00eates de son troupeau, c\u2019est-\u00e0-dire ce m\u00eame nombre dont Kronecker affirmait qu\u2019il avait \u00e9t\u00e9 donn\u00e9 \u00e0 l\u2019esprit humain sans que celui-ci n\u2019ait \u00e0 le construire (sauf \u00e0 construire \u00e0 partir de cette notion ou intuition premi\u00e8re la s\u00e9rie virtuellement infinie<\/em> des nombres entiers positifs). \u00c0 la diff\u00e9rence de Kronecker, il s\u2019agit au contraire pour Dedekind de trouver une d\u00e9finition logique explicite, valable pour la s\u00e9rie ou l\u2019ensemble infini des nombres entiers qui tous seraient ainsi subsum\u00e9s par la d\u00e9finition logique recherch\u00e9e.<\/p>\n

Comme on va l\u2019entrevoir, l\u2019id\u00e9e centrale de Dedekind est assez proche de celle de Kant. Elle repose, comme chez celui-ci, sur la notion d\u2019ordre unidimensionnel, ou encore de succession, mais d\u00e9barrass\u00e9e de toute mention et appui sur l\u2019intuition du temps (ce qui implique que, l\u00e0 o\u00f9 Kant fondait le nombre sur une combinaison des cat\u00e9gories de l\u2019entendement logique et d\u2019une forme apriori de l\u2019intuition sensible, c\u2019est du c\u00f4t\u00e9 des seuls concepts et de la seule activit\u00e9 logique que Dedekind cherche et croit pouvoir trouver une r\u00e9ponse \u00e0 la question\u00a0: qu\u2019est-ce que le nombre\u00a0?). En bref, aucune intuition sensible, m\u00eame pure, ne peut entrer dans la notion de nombre.<\/p>\n

Le point de d\u00e9part de la construction purement math\u00e9matique et logique du concept de nombre, Dedekind le situe dans la capacit\u00e9 qu\u2019\u00e0 la pens\u00e9e de r\u00e9unir<\/em> des \u00ab\u00a0choses\u00a0\u00bb ou des \u00e9l\u00e9ments en un syst\u00e8me<\/em>. Ainsi que dans sa capacit\u00e9 de mettre en correspondance<\/em> ou de repr\u00e9senter<\/em> les \u00e9l\u00e9ments d\u2019un syst\u00e8me S par des \u00e9l\u00e9ments de S ou d\u2019un autre syst\u00e8me\u00a0 (ce qui correspond \u00e0 ce que l\u2019on appelle aujourd\u2019hui une application d\u2019un ensemble sur ou dans un autre ensemble, ou dans l\u2019ensemble de d\u00e9part lui-m\u00eame). En bref, c\u2019est la th\u00e9orie des ensembles dont Dedekind jette ici les bases.<\/p>\n

Le pas suivant de cette construction r\u00e9side dans une sorte particuli\u00e8re de syst\u00e8me que Dedekind appelle \u00ab\u00a0cha\u00eene\u00a0\u00bb, et qui n\u2019existe qu\u2019en relation avec une repr\u00e9sentation<\/em> d\u2019un syst\u00e8me K dans lui-m\u00eame<\/em>, ceci de telle sorte que l\u2019image de K r\u00e9sultant de cette mise en correspondance soit compos\u00e9e de K lui-m\u00eame ou bien d\u2019une partie propre<\/em> de K (ce qui dans le formalisme adopt\u00e9 par Dedekind s\u2019\u00e9crit\u00a0: K’ \u042d K). Exemple banal\u00a0: celui de l\u2019image de (=S’) r\u00e9sultant de la repr\u00e9sentation identique<\/em> du syst\u00e8me, ou encore, autre exemple, l\u2019image du syst\u00e8me r\u00e9sultant d\u2019une permutation circulaire entre \u00e9l\u00e9ments de la cha\u00eene que constitue alors le syst\u00e8me et son image.<\/p>\n

Mais pour se rapprocher de la notion na\u00efve du nombre (celle que Kronecker place au fondement de toute la math\u00e9matique), il faut cependant ajouter deux exigences suppl\u00e9mentaires auxquelles une cha\u00eene doit r\u00e9pondre\u00a0: 1\u00b0 il faut que le lien entre chaque \u00e9l\u00e9ment de S et sa repr\u00e9sentation dans S soit apte \u00e0 fonder l\u2019id\u00e9e de successeur et m\u00eame d\u2019\u00a0\u00ab\u00a0it\u00e9ration illimit\u00e9e\u00a0\u00bb que comporte notre notion na\u00efve de nombre\u00a0; et 2\u00b0 il faut que S et la repr\u00e9sentation de S dans lui-m\u00eame soit apte \u00e0 fonder l\u2019id\u00e9e d\u2019ensemble <\/em>ou syst\u00e8me infini<\/em>, na\u00efvement impliqu\u00e9e dans l\u2019intuition spontan\u00e9e que nous avons que, quel que soit le nombre que l\u2019on se donne, celui-ci a un successeur, et que nous pouvons donc r\u00e9p\u00e9ter \u00e0 l\u2019infini l\u2019op\u00e9ration par laquelle on peut attribuer un tel successeur \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment d\u00e9j\u00e0 connu.<\/p>\n

Commen\u00e7ons par la deuxi\u00e8me exigence. Pour atteindre cette id\u00e9e de syst\u00e8me infini<\/em>, puis \u00e0 partir de l\u00e0 construire la suite illimit\u00e9e des nombres naturels (puis les op\u00e9rations d\u2019addition, etc., ainsi que les notions de \u00ab\u00a0plus grand\u00a0\u00bb ou de \u00ab\u00a0plus petit\u00a0\u00bb, etc.), voil\u00e0 comme Dedekind proc\u00e8de, non sans recourir, comme nous allons le voir, \u00e0 certaines consid\u00e9rations extramath\u00e9matiques.<\/p>\n

Une repr\u00e9sentation \u03c6 d\u2019un syst\u00e8me S dans lui-m\u00eame ou dans un autre syst\u00e8me est dite semblable<\/em> si, pour chaque image \u03c6(a) d\u2019un \u00e9l\u00e9ment de S cette image diff\u00e8re de l\u2019image \u03c6(b) d\u2019un autre \u00e9l\u00e9ment de S (en termes symboliques\u00a0: si a\u2260b, alors \u03c6(a)\u2260 \u03c6(a), ou encore a\u2019\u2260b\u2019).<\/p>\n

Si, pour un syst\u00e8me S, il n\u2019y a aucune repr\u00e9sentation semblable<\/em> dans l\u2019une de ses parties propres, ce syst\u00e8me est fini<\/em> (une partie propre d\u2019un syst\u00e8me est une partie strictement incluse<\/em> dans ce syst\u00e8me, par exemple les nombres pairs forment une partie propre du syst\u00e8me des nombres naturels). Par contre un syst\u00e8me sera dit infini<\/em> s\u2019il est semblable \u00e0 une de ses parties propres (c\u2019est-\u00e0-dire, si \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de S on peut faire correspondre un et un seul \u00e9l\u00e9ment de cette partie propre \u2014 ce qui est le cas du syst\u00e8me des nombres naturels et de la partie propre de ce syst\u00e8me que composent les nombres pairs\u00a0: on peut en effet compter les nombres pairs\u00a0!).<\/p>\n

A ce point de cette construction, il est important d\u2019avoir \u00e0 l\u2019esprit que, si l\u2019id\u00e9e de nombre est bien entendu sous-jacente, cette id\u00e9e n\u2019intervient nullement dans la d\u00e9finition math\u00e9matique des notions de syst\u00e8me, de repr\u00e9sentation, de partie propre, et d\u2019infini). Le but de Dedekind est donc de parvenir, \u00e0 partir de ces notions non-arithm\u00e9tiques<\/em> et d\u2019autres qu\u2019il reste \u00e0 pr\u00e9senter et dans lesquelles il n\u2019est \u00e9galement pas du tout question du nombre, \u00e0 une d\u00e9finition du nombre bas\u00e9e sur ces d\u00e9finitions pr\u00e9alablement formul\u00e9es.<\/p>\n

Mais pour aboutir \u00e0 ses fins, la construction du syst\u00e8me infini des nombres naturels, il lui faut au pr\u00e9alable d\u00e9montrer qu\u2019un syst\u00e8me infini existe qui remplit les conditions pour \u00eatre reconnu tel (pour l\u2019instant, seule existe la d\u00e9finition<\/em> d\u2019un syst\u00e8me infini). Et c\u2019est ici que Dedekind fait intervenir des consid\u00e9rations extramath\u00e9matiques, qui seront rejet\u00e9es par les autres math\u00e9maticiens-philosophes, mais dont tout l\u2019int\u00e9r\u00eat est de souligner, m\u00eame de fa\u00e7on ici non convaincante, le r\u00f4le possible du sujet dans la construction des \u00eatres math\u00e9matiques. Pour Dedekind en effet, un tel syst\u00e8me infini existe, \u00e0 savoir celui que compose \u00ab\u00a0le monde de mes pens\u00e9es<\/em> \u00bb. Voyons comme il croit pouvoir le d\u00e9montrer.<\/p>\n

Soit la repr\u00e9sentation \u03c6 qui, \u00e0 chaque objet s<\/em> de ce monde S de mes pens\u00e9es, fait correspondre la pens\u00e9e de cet objet (soit \u03c6(s)), et donc \u00e0 S son image S\u2019. Pour Dedekind, l\u2019image S\u2019 est une partie propre de S<\/em>, car il existe au moins un objet de ce monde, \u00e0 savoir le sujet transcendantal<\/em> kantien (ou le Cogito<\/em> de Descartes), qui, s\u2019il peut \u00eatre objet (m\u00eame inconnaissable) de ma pens\u00e9e, n\u2019est image d\u2019aucun autre objet de ma pens\u00e9e (il ne peut \u00eatre un s<\/em>\u2019), puisqu\u2019il est la condition d\u2019existence de tout objet de mes pens\u00e9es, quel qu\u2019il soit.<\/p>\n

Selon ce qui pr\u00e9c\u00e8de, il existe donc au moins un syst\u00e8me infini. Mais avec une telle d\u00e9monstration d\u2019existence, on n\u2019a pas encore rejoint l\u2019id\u00e9e na\u00efve du syst\u00e8me infini des nombres naturels, soit N<\/em><\/strong>, avec la notion de succession qui le caract\u00e9rise. Pour atteindre son but, Dedekind a besoin de poser de nouvelles d\u00e9finitions, \u00e0 savoir celle de syst\u00e8me simplement infini<\/em>. Voil\u00e0 la d\u00e9finition qu\u2019il en donne\u00a0: un syst\u00e8me, disons N, sera dit simplement infini<\/em> s\u2019il existe une repr\u00e9sentation semblable <\/em>\u03c6\u00a0de ce syst\u00e8me dans lui-m\u00eame qui fait de <\/em>N la cha\u00eene d\u2019un \u00e9l\u00e9ment non contenu dans <\/em>\u03c6(N)<\/a>[14]<\/a> (rappelons-le\u00a0: par d\u00e9finition, une repr\u00e9sentation d\u2019un syst\u00e8me d\u00e9termine une cha\u00eene si K\u2019 \u042d K).<\/p>\n

Revenons au monde de nos pens\u00e9es, et plus pr\u00e9cis\u00e9ment de ma pens\u00e9e. Dans le syst\u00e8me infini de ce monde, soit S, un tel \u00e9l\u00e9ment non contenu dans toute image de S existe\u00a0; c\u2019est pr\u00e9cis\u00e9ment le sujet transcendantal, et la repr\u00e9sentation susceptible de d\u00e9terminer la cha\u00eene S recherch\u00e9e existe \u00e9galement\u00a0; c\u2019est celle qui \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment s<\/em> de S fait correspondre sa pens\u00e9e s<\/em>\u2019, et bien s\u00fbr aussi, la pens\u00e9e de cette pens\u00e9e s<\/em>\u2019\u2019, puis la pens\u00e9e s\u2019\u2019\u2019<\/em> de s\u2019\u2019, et ainsi de suite (s\u2019, s\u2019\u2019, s\u2019\u2019\u2019 etc. appartenant au monde de mes pens\u00e9es et \u00e9tant le r\u00e9sultat de la repr\u00e9sentation \u03c6\u00a0compose donc bien une cha\u00eene).<\/p>\n

Mais puisqu\u2019il s\u2019agit de d\u00e9terminer un syst\u00e8me simplement infini, on peut bien choisir d\u2019appeler 1 l\u2019\u00e9l\u00e9ment de S non contenu dans j(S). Partons de cet \u00e9l\u00e9ment\u00a0: son image \u03c6(1) se trouve dans N (cha\u00eene de 1 par rapport \u00e0 la repr\u00e9sentation \u03c6(S) de S dans lui-m\u00eame)\u00a0; idem pour \u03c6(\u03c6(1))\u00a0; idem pour \u03c6(\u03c6(\u03c6(1))), etc. N est la cha\u00eene de 1 relativement \u00e0 la repr\u00e9sentation ou application \u03c6. Et N est infini, puisque son image N\u2019 est partie propre de N (1 n\u2019est pas dans N\u2019).<\/p>\n

Vient enfin le point d\u2019orgue de la d\u00e9monstration. Si on appelle 1x<\/sub> l\u2019\u00e9l\u00e9ment de d\u00e9part de n\u2019importe quel syst\u00e8me Nx<\/sub> simplement infini (et la cha\u00eene de mes pens\u00e9e construite \u00e0 partir du sujet transcendantal constitue donc selon Dedekind un tel syst\u00e8me), et si l\u2019on fait abstraction de la nature particuli\u00e8re des \u00e9l\u00e9ments de<\/em> Nx<\/sub> pour ne retenir que la structure de<\/em> Nx<\/sub> (=l\u2019ordre entre les \u00e9l\u00e9ments qui s\u2019encha\u00eenent), alors cet \u00e9l\u00e9ment 1x<\/sub> et les images de chacun des \u00e9l\u00e9ments de (la cha\u00eene) Nx<\/sub> forment la suite infinie N<\/strong><\/em> des \u00ab\u00a0nombres naturels ou ordinaux\u00a0\u00bb dont la pens\u00e9e na\u00efve se fait une id\u00e9e intuitive (cf. Dedekind, Vrin 2008, p. 179 et pr\u00e9c\u00e9dentes).<\/p>\n

Voil\u00e0 donc, longuement et grossi\u00e8rement r\u00e9sum\u00e9, comment Dedekind juge avoir apport\u00e9 une d\u00e9finition logique et une preuve (non compl\u00e8tement probante, puisque recourant \u00e0 un argument philosophique) de l\u2019existence d\u2019une suite infinie abstraite susceptible de servir de fondement logique \u00e0 notre id\u00e9e intuitive du syst\u00e8me infini des nombres naturels finis \u2014suite \u00e0 partir de laquelle se laissent facilement construire les autres familles de nombre (les rationnels, les irrationnels, les r\u00e9els, etc.), ainsi que les op\u00e9rations arithm\u00e9tique et les diff\u00e9rentes propri\u00e9t\u00e9s des nombres.<\/p>\n

Pour Dedekind, le syst\u00e8me arithm\u00e9tique infini des nombres naturels, base de construction des autres nombres, appara\u00eet ainsi explicitement \u00eatre le r\u00e9sultat d\u2019une double cr\u00e9ation\u00a0: 1\u00b0 la r\u00e9union par l\u2019esprit (le sujet transcendantal) des \u00e9l\u00e9ments permettant de composer un syst\u00e8me S simplement ordonn\u00e9, puis 2\u00b0 par abstraction de la nature particuli\u00e8re des \u00e9l\u00e9ments de S, la cr\u00e9ation<\/em> du syst\u00e8me simplement infini des nombres naturels N<\/em><\/strong> (qui est semblable \u00e0 S\u00a0: \u00e0 1 correspond le sujet transcendantal Je<\/em>, au successeur de 1, la pens\u00e9e du Je<\/em>, au successeur du successeur de 1, la pens\u00e9e de la pens\u00e9e du Je<\/em>, etc.).<\/p>\n

Mais il y a plus. Dans la pr\u00e9face \u00e0 la 1\u00e8re<\/sup> \u00e9dition de son \u00e9crit, Dedekind affirme que c\u2019est chaque individu qui \u00ab\u00a0d\u00e8s les premi\u00e8res ann\u00e9es de sa vie\u00a0\u00bb exerce cette facult\u00e9 de l\u2019esprit qui consiste \u00e0 \u00ab\u00a0relier les choses \u00e0 des choses\u00a0\u00bb, \u00e0 \u00ab\u00a0former des jugements et des suites d\u2019inf\u00e9rences\u00a0\u00bb, et par l\u00e0 \u00e0 acqu\u00e9rir \u00ab\u00a0ce tr\u00e9sor de v\u00e9rit\u00e9s proprement math\u00e9matiques, auxquelles nos premiers ma\u00eetres font appel plus tard comme quelque chose de simple, \u00e9vident, donn\u00e9 \u00e0 l\u2019intuition interne\u00a0\u00bb (Dedekind, trad. fr. 2008, p. 137).<\/p>\n

En d\u2019autres termes, ce qu\u2019expose Dedekind dans son essai Que sont et que valent les nombres\u00a0?<\/em> n\u2019est en bonne partie qu\u2019une tentative d\u2019explicitation d\u2019une partie au moins du travail accompli par chaque enfant en construisant sa connaissance intuitive du nombre \u00e9l\u00e9mentaire. Et c\u2019est l\u00e0 une ambition que Piaget poursuivra plus tard, en aboutissant \u00e0 des r\u00e9sultats qui confirment partiellement ceux de Dedekind, tout en en r\u00e9v\u00e9lant aussi certaines lacunes (du moins en ce qui concerne les ingr\u00e9dients psychologiques qui interviennent dans la construction par et chez l\u2019enfant de sa premi\u00e8re notion de nombre qui va au-del\u00e0 de la simple saisie perceptive de la num\u00e9rosit\u00e9 d\u2019une collection).<\/p>\n

A en rester pour l\u2019instant sur le terrain de la philosophie des math\u00e9matiques, la solution propos\u00e9e par Dedekind pose deux probl\u00e8mes.<\/p>\n

Premi\u00e8rement, cette solution reposait non seulement sur la d\u00e9finition mais la d\u00e9monstration de l\u2019existence d\u2019un syst\u00e8me infini et ordonn\u00e9. Raison pour laquelle Dedekind a ins\u00e9r\u00e9 dans sa reconstruction logique du nombre naturel la th\u00e8se m\u00e9taphysique du \u00ab\u00a0monde de mes pens\u00e9es\u00a0\u00bb. Bien \u00e9videmment, les autres math\u00e9maticiens qui ne s\u2019inscrivent pas, comme Dedekind, dans la filiation de la philosophie kantienne et pour qui la notion de sujet transcendantal n\u2019a pas de sens rejetteront cette d\u00e9monstration philosophico-math\u00e9matique de l\u2019existence du syst\u00e8me infini de mes pens\u00e9es dont l\u2019abstraction de son contenu conduirait \u00e0 la cr\u00e9ation du syst\u00e8me des nombres naturels. Tout en reprenant et en formalisant \u00e0 leur tour la notion de syst\u00e8me simplement infini, la majorit\u00e9 des math\u00e9maticiens adopteront une conception pragmatique du fondement de l\u2019arithm\u00e9tique en se contentant de postuler<\/em> l\u2019existence d\u2019un syst\u00e8me infini. D\u00e8s lors, devant les \u00e9checs r\u00e9p\u00e9t\u00e9s de d\u00e9montrer logiquement l\u2019existence d\u2019un tel syst\u00e8me infini, la\u00a0 solidit\u00e9 de toute l\u2019arithm\u00e9tique ne sera plus garantie par son point de d\u00e9part (l\u2019affirmation de l\u2019existence d\u2019un tel syst\u00e8me), mais par l\u2019absence de toute contradiction dans l\u2019essor de cette science, et dans les diff\u00e9rentes formalisations qu\u2019on a pu en faire.<\/p>\n

Et puis, deuxi\u00e8me probl\u00e8me, moins grave\u00a0: la solution \u00e0 laquelle aboutit Dedekind avec ses notions de cha\u00eene et de syst\u00e8me simplement ordonn\u00e9 n\u2019exprime pas compl\u00e8tement notre id\u00e9e intuitive de nombre \u00e9l\u00e9mentaire. Elle contient seulement l\u2019id\u00e9e suivante\u00a0: on a un premier \u00e9l\u00e9ment, puis le successeur de cet \u00e9l\u00e9ment (\u00ab\u00a0deuxi\u00e8me\u00a0\u00bb \u00e9l\u00e9ment de la s\u00e9rie), puis un successeur du successeur (\u00ab\u00a0troisi\u00e8me\u00a0\u00bb \u00e9l\u00e9ment de la s\u00e9rie), et ainsi de suite. Et absente de cette id\u00e9e s\u00e9rielle du nombre l\u2019id\u00e9e de quantit\u00e9 num\u00e9rique, l\u2019id\u00e9e de totalisation qui \u00e9tait pr\u00e9sente chez Kant, mais qui, chez Dedekind, n\u2019entre pas dans la d\u00e9finition premi\u00e8re du nombre, mais seulement dans une caract\u00e9risation ult\u00e9rieure et non fondamentale. C\u2019est au contraire cette id\u00e9e de quantit\u00e9 qui sera au premier plan dans la tentative \u00e0 son tour poursuivie par Cantor de fonder ou de d\u00e9finir logiquement, par des notions pr\u00e9alables qui n\u2019y font pas appel, le concept de nombre.<\/p>\n

Georg Cantor (1845-1918)<\/big><\/h6>\n

Dans son travail sur les fondements logiques du concept de nombre naturel, Cantor part, comme Dedekind, des notions d\u2019ensemble et de correspondance entre ensembles. Il d\u00e9finit tout d\u2019abord (sans faire usage de la notion de correspondance bi-univoque) le nombre cardinal<\/em> de tout ensemble M comme \u00e9tant \u00ab\u00a0le concept g\u00e9n\u00e9ral qui \u00e0 l\u2019aide de notre facult\u00e9 de pens\u00e9e, r\u00e9sulte de l\u2019ensemble M quand nous faisons abstraction de la nature de ses \u00e9l\u00e9ments et de l\u2019ordre dans lequel ils sont donn\u00e9s\u00a0\u00bb (Belna, p. 115). A ce stade de sa construction, on sait qu\u2019\u00e0 tout ensemble M correspond donc un nombre cardinal (appel\u00e9 encore \u00ab\u00a0puissance\u00a0\u00bb de cet ensemble), mais on ne conna\u00eet pas encore quel est ce nombre\u00a0!<\/p>\n

Ensuite Cantor introduit, de mani\u00e8re assez proche de la notion de cha\u00eene, la notion d\u2019ensemble bien ordonn\u00e9, dont les \u00e9l\u00e9ments se suivent les uns les autres en formant une suite d\u00e9termin\u00e9e\u00a0: \u00ab\u00a0Par ensemble bien ordonn\u00e9. Il faut entendre tout ensemble bien d\u00e9fini, dont les \u00e9l\u00e9ments sont coordonn\u00e9s par une succession donn\u00e9e de mani\u00e8re d\u00e9termin\u00e9e, d\u2019apr\u00e8s laquelle il existe un premier \u00e9l\u00e9ment de l\u2019ensemble, et d\u2019apr\u00e8s laquelle non seulement tout \u00e9l\u00e9ment particulier (pourvu qu’il ne soit pas le dernier dans la succession) se trouve suivi d\u2019un \u00e9l\u00e9ment d\u00e9termin\u00e9, mais encore \u00e0 tout ensemble arbitraire fini ou infini, appartient un \u00e9l\u00e9ment d\u00e9termin\u00e9 qui, dans la succession, est l’\u00e9l\u00e9ment qui les suit tous imm\u00e9diatement (pourvu qu’il existe bien un tel \u00e9l\u00e9ment) \u00bb (Belna, p. 109). Chacun des \u00e9l\u00e9ments d\u2019une telle suite peut \u00eatre d\u00e9sign\u00e9 par le nom de nombre ordinal qui lui correspond (Belna, p.\u00a0153), nom ne prenant pas encore son sens num\u00e9rique (on pourrait lui donner n\u2019importe quel autre nom, pourvu que chacun des \u00e9l\u00e9ments de la suite soit d\u00e9sign\u00e9 diff\u00e9remment\u00a0: si l\u2019alphabet \u00e9tait sans limite, on pourrait ainsi choisir la suite des lettres plut\u00f4t que la suite des noms de nombre ordinal).<\/p>\n

D\u00e8s lors, il suffit de prendre appui sur ces ensemble bien ordonn\u00e9s, et de faire abstraction<\/em> pour chacun d\u2019entre eux de l\u2019ordre de ses \u00e9l\u00e9ments pour disposer de la suite des nombres cardinaux, auxquels on peut donner \u00e0 chacun un nom similaire au nom donn\u00e9 au dernier \u00e9l\u00e9ment de\u00a0l\u2019ensemble bien ordonn\u00e9 correspondant (1 pour 1er<\/sup>, 2 pour 2e<\/sup>, etc.). Disposant de cette suite infinie de nombre cardinal fini, il devient du m\u00eame coup possible de conna\u00eetre (par correspondance biunivoque ou terme \u00e0 terme avec un \u00e9l\u00e9ment de cette suite) le nombre cardinal de l\u2019ensemble M dont il \u00e9tait question pr\u00e9c\u00e9demment et ceci quel que soit l\u2019ordre dans lequel ses \u00e9l\u00e9ments sont consid\u00e9r\u00e9s (voir pour plus de pr\u00e9cision, Belna p.\u00a0119).<\/p>\n

On voit donc en conclusion que, chez Cantor, l\u2019op\u00e9ration fondatrice du nombre cardinal est la mise en correspondance bi-univoque avec les \u00e9l\u00e9ments d\u2019un ensemble bien ordonn\u00e9. Mais la mani\u00e8re dont Cantor juge d\u00e9finir logiquement le nombre \u00e0 partir de la correspondance bi-univoque et de celle d\u2019ensemble bien ordonn\u00e9 n\u2019atteint pas encore un niveau de clart\u00e9 et de rigueur suffisant aux yeux des logiciens de l\u2019\u00e9poque. Ceux-ci, et en tout premier lieu Frege et Russell, poursuivront en cons\u00e9quence l\u2019effort de Cantor et de Dedekind, en recourant aux m\u00eames m\u00e9thodes de logique (proc\u00e9der pas \u00e0 pas, en d\u00e9finissant de nouveaux \u00eatres math\u00e9matiques \u00e0 partir de premi\u00e8res notions ind\u00e9finissables), que celles utilis\u00e9es, de mani\u00e8re certes moins formelle, par ces deux math\u00e9maticiens fondateurs de la th\u00e9orie des ensembles, mais en excluant tout emprunt \u00e0 la philosophie (cf. le sujet transcendantal introduit par Dedekind) et \u00e0 la psychologie (cf. le proc\u00e9d\u00e9 d\u2019abstraction utilis\u00e9 par Cantor), et en se donnant comme contrainte suppl\u00e9mentaire de n\u2019utiliser, comme concepts de d\u00e9part, que les seuls concepts de la logique formelle\u00a0: \u00e0 savoir ceux de proposition, de fonction propositionnelle (par exemple \u00ab\u00a0x est mortel\u00a0\u00bb qui couvre toutes les propositions que l\u2019on peut construire en rempla\u00e7ant la variable x<\/em> par une \u00ab\u00a0constante\u00a0\u00bb, par exemple Socrate), de classes, de relations logiques, etc. Voyons donc, pour terminer ce bref parcours \u00e0 travers les travaux consacr\u00e9s \u00e0 l\u2019\u00e9tude logique des fondements des math\u00e9matiques, \u00e0 quoi aboutit une telle d\u00e9marche chez Russell, un auteur sur lequel Piaget prendra explicitement appui dans le cadre de ses recherches sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant (tout en se distan\u00e7ant de certaines de ses th\u00e8ses, comme nous le verrons la semaine prochaine).<\/p>\n

Bertrand Russell (1872-1970)<\/big><\/h6>\n

Dans ses travaux de philosophie des math\u00e9matiques, le philosophe et logicien Russell a repris \u00e0 son compte, au d\u00e9but du 20e<\/sup> si\u00e8cle, le projet initi\u00e9 \u00e0 la fin du 19e<\/sup> si\u00e8cle par le math\u00e9maticien allemand Gottlob Frege (1845-1925) de r\u00e9duire toute la math\u00e9matique \u00e0 la logique, et en particulier de d\u00e9finir le concept de nombre \u00e0 partir des seuls concepts de la logique. Ayant connaissance des travaux de Dedekind et de Cantor, Russell se refuse \u00e0 construire le nombre \u00e0 partir de la notion intuitive de successeur ou par la d\u00e9marche cantorienne de faire abstraction de la nature des \u00e9l\u00e9ments d\u2019un ensemble quelconque. Selon lui ni les nombres ordinaux d\u00e9finis par Dedekind ni les ensembles tels que con\u00e7us par Cantor ne peuvent servir de fondement \u00e0 une stricte d\u00e9finition logique de ce que sont les nombres cardinaux, ces derniers \u00e9tant cependant pour lui comme pour Cantor la base premi\u00e8re d\u2019\u00e9dification de l\u2019arithm\u00e9tique. L\u2019op\u00e9ration de comptage ou de d\u00e9nombrement dans laquelle bien des math\u00e9maticiens croient pouvoir trouver l\u2019origine du nombre pr\u00e9suppose au contraire la connaissance de ce dernier. Compter revient \u00e0 mettre en relation terme \u00e0 terme une classe d\u2019objets avec une classe de nombres (par exemple, la classe des disciples du Christ avec la classe des nombres de 1 \u00e0 12). Le probl\u00e8me pour Russell est donc de trouver une d\u00e9finition purement logique, ne faisant aucune r\u00e9f\u00e9rence au nombre, de ce qu\u2019est une classe de nombres. En d\u2019autres termes, il s\u2019agit pour Russell de r\u00e9duire la notion de nombre cardinal telle qu\u2019elle est pr\u00e9suppos\u00e9e dans la d\u00e9marche de Cantor \u00e0 une classe purement logique. Pour ce faire, Russell part de la notion de correspondance bi-univoque d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9e par Dedekind et Cantor, en l\u2019appliquant \u00e0 la notion de classe logique.<\/p>\n

Des classes logiques sont dites <\/em>semblables<\/strong> quant il est possible d\u2019instaurer entre leurs \u00e9l\u00e9ments respectifs une relation un-un<\/em> (\u00ab\u00a0un\u00a0\u00bb \u00e9tant d\u00e9fini de mani\u00e8re purement logique, sans aucune r\u00e9f\u00e9rence au 1 arithm\u00e9tique, et la relation \u00ab\u00a0un-un\u00a0\u00bb \u00e9tant elle aussi une relation purement logique, sans signification arithm\u00e9tique). A partir de l\u00e0, Russell peut donner la d\u00e9finition suivante d\u2019un nombre cardinal\u00a0: \u00ab\u00a0le nombre d’une classe<\/em> [est] la classe de toutes les classes semblables \u00e0 une classe donn\u00e9e<\/em>. L’appartenance \u00e0 cette classe de classes<\/strong><\/em> (consid\u00e9r\u00e9e comme un pr\u00e9dicat) est une propri\u00e9t\u00e9 commune de toutes les classes semblables et d’aucune autre<\/em> ; de plus, chaque classe de l’ensemble des classes semblables a avec l’ensemble une relation qu’elle n’a avec rien d\u2019autre [\u2026]. Ainsi les conditions sont-elles compl\u00e8tement remplies par cette classe de classes. Elle pr\u00e9sente le m\u00e9rite d’\u00eatre d\u00e9termin\u00e9e quand une classe est donn\u00e9e et d’\u00eatre diff\u00e9rente pour deux classes qui ne sont pas semblables. C’est donc une d\u00e9finition irr\u00e9prochable du nombre d’une classe en termes purement logiques<\/em> \u00bb (Russell, cit\u00e9 par D. Vernant, p. 134 de \u00ab La philosophie math\u00e9matique de Bertrand Russell<\/em> \u00bb, Vrin, 1993).<\/p>\n

On notera que cette d\u00e9finition a pour propri\u00e9t\u00e9 de d\u00e9finir de mani\u00e8re toute \u00e0 fait ind\u00e9pendante chaque nombre \u00e9l\u00e9mentaire, sans jamais faire r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 la s\u00e9rie enti\u00e8re des nombres. Il appara\u00eet aussi que, hormis pour les petits nombres (la classe des trios, la classe des couples, etc., qui chacune peut \u00eatre con\u00e7ue ind\u00e9pendamment des autres), cette d\u00e9finition de chaque nombre cardinal en tant que classe de classes semblables n\u2019a que peu de lien avec la notion commune de nombre\u00a0: lorsque nous cherchons \u00e0 conna\u00eetre le nombre cardinal d\u2019une collection, nous ne mettons pas en relation la classe que composent les \u00e9l\u00e9ments de cette collection avec la classe des classes semblables \u00e0 cette classe). Il est ainsi peu plausible que nous atteignons psychologiquement la notion de nombre par la voie que sugg\u00e8re Russell (qui au demeurant jugeait sans int\u00e9r\u00eat l\u2019analyse psychologique de la gen\u00e8se du nombre chez le sujet). Mais il est vrai que, sur le seul plan de la logique, la d\u00e9finition de chaque nombre individuel dont Russell livre ici le proc\u00e9d\u00e9 est logiquement plus rigoureuse que celle livr\u00e9e par ces deux illustres\u00a0pr\u00e9d\u00e9cesseurs qu\u2019\u00e9taient Dedekind et Cantor.<\/p>\n

Quoi qu\u2019il en soit, une fois d\u00e9termin\u00e9 avec l\u2019aide des seuls concepts logiques de classe et de relation un \u00e0 un<\/em> le proc\u00e9d\u00e9 permettant de d\u00e9finir ou de conna\u00eetre<\/a>[15]<\/a> le nombre cardinal d\u2019un quelconque ensemble fini d\u2019\u00e9l\u00e9ments, Russell peut d\u00e9finir tr\u00e8s simplement le nombre ordinal de cet ensemble (en proc\u00e9dant donc en sens inverse du parcours suivi par Dedekind, qui d\u00e9finissait le nombre cardinal \u00e0 partir du nombre ordinal). Pour ce faire, Russell ajoute aux deux notions logiques utilis\u00e9es pour d\u00e9terminer le cardinal d\u2019un ensemble la notion de s\u00e9rie logique, elle-m\u00eame d\u00e9riv\u00e9e de la notion logique de relation asym\u00e9trique\u00a0: une s\u00e9rie est une classe entre les \u00e9l\u00e9ments de laquelle une relation asym\u00e9trique, transitive et connexe peut \u00eatre \u00e9tablie (Bertrand Russell, Introduction to mathematical philosophy<\/em>, 1919, r\u00e9\u00e9d. 1971, p. 34). Une fois ces pr\u00e9cisions apport\u00e9es, Russell d\u00e9finit comme suit le nombre ordinal <\/em>: des s\u00e9ries finies (au sens que l\u2019on vient de d\u00e9finir) ont le m\u00eame nombre ordinal si elles ont le m\u00eame nombre cardinal d\u2019\u00e9l\u00e9ments (id., pp. 56-57), en d\u2019autres termes, si elles ont appartiennent toutes deux \u00e0 la \u00ab\u00a0la m\u00eame classe de classes semblables \u00e0 une classe donn\u00e9e\u2026\u00a0\u00bb\u00a0(etc. voir plus haut la d\u00e9finition du nombre cardinal).<\/p>\n

***********<\/p>\n

En d\u00e9finitive, que pouvons-nous conclure de cette br\u00e8ve pr\u00e9sentation (ou de ce survol) de quelques travaux repr\u00e9sentatifs des d\u00e9marches et conceptions adopt\u00e9es par les math\u00e9maticiens philosophes et les logiciens de la fin du 19e<\/sup> et du d\u00e9but du 20e<\/sup> si\u00e8cle\u00a0? Avant tout le fait que gr\u00e2ce \u00e0 leurs analyses serr\u00e9es de la notion de nombre, ils ont pu \u00e9tablir une claire distinction entre deux notions de nombres (les ordinaux et les cardinaux), ainsi que les liens susceptibles d\u2019exister entre ces deux notions de cardinal et d\u2019ordinal d\u2019un ensemble. Ces travaux ont \u00e9galement mis en pleine lumi\u00e8re deux notions ou op\u00e9rations qui s\u2019av\u00e9reront jouer un r\u00f4le central dans les d\u00e9couvertes de Piaget sur la construction du nombre chez l\u2019enfant.<\/p>\n

Plus g\u00e9n\u00e9ralement, de l\u2019ensemble des diff\u00e9rents contextes intellectuels d\u00e9crits dans ce cours, on peut dire que 1. de la psychologie, Piaget ne retiendra et ne pourra retenir que la d\u00e9marche m\u00e9thodologique propre \u00e0 la psychologie des tests d\u2019intelligence, mais en l\u2019adaptant \u00e0 son propre questionnement \u00e0 finalit\u00e9 th\u00e9orique et non plus pratique\u00a0; 2. de la philosophie classique, il retiendra le virage \u00e9pist\u00e9mologique inaugur\u00e9 par Kant et recherchant du c\u00f4t\u00e9 de l\u2019activit\u00e9 du sujet les sources du nombre\u00a0; et enfin 3. la philosophie des math\u00e9matiques de la fin du 19e<\/sup> si\u00e8cle et du d\u00e9but du 20e<\/sup> lui ont apport\u00e9 les concepts permettant de cerner les conduites pr\u00e9num\u00e9riques puis num\u00e9riques recueillies au cours des enqu\u00eates psychologiques sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant. C\u2019est ce que nous v\u00e9rifierons lors de notre prochain cours dans lequel seront pr\u00e9sent\u00e9s les r\u00e9sultats de quelques-unes de ces enqu\u00eates.<\/p>\n

____________________<\/p>\n

<\/a>[1]<\/a> Des guillemets s\u2019imposent, car tout le probl\u00e8me r\u00e9side pr\u00e9cis\u00e9ment dans ce que signifie alors un tel d\u00e9nombrement, un probl\u00e8me dont la r\u00e9solution implique une analyse psychologique, logique et \u00e9pist\u00e9mologique (mais aussi peut-\u00eatre ph\u00e9nom\u00e9nologique, point qui ne sera pas d\u00e9velopp\u00e9 dans ce cours).<\/p>\n

<\/a>[2]<\/a> Il est int\u00e9ressant de prendre connaissance de sa biographie, qui donne une certaine id\u00e9e de ce qu\u2019\u00e9tait l\u2019Institut J.-J. Rousseau dans les ann\u00e9es o\u00f9 Piaget y a d\u00e9but\u00e9 sa carri\u00e8re de psychologue. Neuch\u00e2teloise comme Piaget, Alice Desc\u0153udres est n\u00e9e le 20.1.1877 \u00e0 La C\u00f4te-aux-F\u00e9es (la commune jurassienne dont est originaire Piaget\u00a0!) et est d\u00e9c\u00e9d\u00e9e 23.5.1963 \u00e0 Bevaix. Son p\u00e8re \u00e9tait pasteur. Elle a fait ses \u00e9tudes secondaires et sup\u00e9rieures \u00e0 Gen\u00e8ve, o\u00f9 elle a obtenu son dipl\u00f4me p\u00e9dagogique en1895. Apr\u00e8s un stage chez le neuropsychiatre Ovide Decroly \u00e0 Bruxelles, elle a travaill\u00e9 comme institutrice de cours priv\u00e9s, puis de classes sp\u00e9ciales \u00e0 Malagnou (Gen\u00e8ve, 1909-1937) et a enseign\u00e9 de 1912 \u00e0 1947 l’institut Jean-Jacques Rousseau \u00e0 Gen\u00e8ve. Tr\u00e8s engag\u00e9e sur le plan social, elle adh\u00e9ra au mouvement coop\u00e9ratif dont Gen\u00e8ve fut l\u2019un des hauts lieux dans les deux d\u00e9cennies qui s\u00e9parent les deux guerres europ\u00e9ennes.<\/p>\n

<\/a>[3]<\/a> Janet, qui connaissait bien les premiers travaux publi\u00e9s dans les ann\u00e9es 1920 par Piaget sur le d\u00e9veloppement de l\u2019intelligence et des connaissances chez l\u2019enfant (travaux qu\u2019il mentionne d\u2019ailleurs dans son livre de 1939) ne se doutait alors pas, alors qu\u2019il rapportait l\u2019\u00e9tat de la psychologie du nombre, que Piaget \u00e9tait d\u00e9j\u00e0 en train d\u2019accumuler des r\u00e9sultats d\u2019exp\u00e9rience portant sur la gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant\u00a0! L\u2019examen comparatif m\u00eame superficiel entre le chapitre du livre de 1936 consacr\u00e9 au nombre et le livre de 1941 dans lequel Piaget pr\u00e9sentait les r\u00e9sultats de ses recherches sur la gen\u00e8se du nombre illustre \u00e0 lui seul le saut qualitatif et quantitatif accomplit par celles-ci.<\/p>\n

<\/a>[4]<\/a> Parmi les math\u00e9maticiens de renom qui ont en effet cherch\u00e9 du c\u00f4t\u00e9 de la psychologie (encore pr\u00e9scientifique) quelques \u00e9l\u00e9ments permettant d\u2019\u00e9clairer voire de fonder leur science, mentionnons un auteur italien dont Piaget discutera longuement les th\u00e8ses\u00a0: F. Enriques.<\/p>\n

<\/a>[5]<\/a> Piaget cite les travaux d\u2019O. K\u0153hler dans l\u2019avant-propos de la troisi\u00e8me \u00e9dition (parue en 1964) de son ouvrage de 1941 sur \u00ab\u00a0La gen\u00e8se du nombre chez l\u2019enfant\u00a0\u00bb. Il qualifie de \u00ab\u00a0correspondances figurales\u00a0\u00bb cette capacit\u00e9 de discrimination perceptive, la mettant ainsi en rapport, mais sans la confondre, avec ce qui appara\u00eetra comme l\u2019une des cl\u00e9s de l\u2019explication de la construction du nombre, \u00e0 savoir le m\u00e9canisme de correspondance terme \u00e0 terme que l\u2019on retrouvera plus loin.<\/p>\n

<\/a>[6]<\/a> L\u00e0 encore, il faudra attendre les travaux et analyses de Piaget pour qu\u2019un tel constat, s\u2019il est confirm\u00e9, puisse prendre sa pleine signification.<\/p>\n

<\/a>[7]<\/a> Selon l\u2019historien des math\u00e9matiques J. Gray, Santerre avait pour objectif de fonder la science arithm\u00e9tique sur \u00ab l\u2019axiomatisation de faits de conscience \u00bb entreprise dans son ouvrage de 1907. Un tel objectif n\u2019est pas compl\u00e8tement \u00e9tranger \u00e0 celui que Piaget se proposera de poursuivre \u00e0 travers son projet d\u2019une \u00e9pist\u00e9mologie g\u00e9n\u00e9tique reliant les sciences logico-math\u00e9matiques et physiques \u00e0 la psychogen\u00e8se des connaissances chez l\u2019enfant.<\/p>\n

<\/a>[8]<\/a> Cette th\u00e8se sera d\u2019une certaine mani\u00e8re, et comme on le verra plus loin, reprise par le philosophe et logicien Bertrand Russell, du moins dans un premier temps. Pour tenter d\u2019approcher la conception que Platon pouvait se faire de ce qu\u2019est fonci\u00e8rement ces premiers nombres dont tous les autres peuvent \u00eatre tir\u00e9s, je me suis appuy\u00e9 sur un texte de Maurice Caveing\u00a0: La figure et le nombre\u00a0: recherches sur les premi\u00e8res math\u00e9matiques de Grecs<\/em>.<\/p>\n

<\/a>[9]<\/a> Cette progression interne de l\u2019arithm\u00e9tique am\u00e8nera les math\u00e9maticiens, et notamment Stevin (1548-1620) \u00e0 se distancer peu \u00e0 peu de la th\u00e8se d\u2019Aristote refusant le statut de nombre aux grandeurs irrationnelles. Mais cet enrichissement en extension de la notion de nombre n\u2019entra\u00eene pas de r\u00e9ponse nouvelle \u00e0 la question de la signification du nombre ni \u00e0 celle de son origine.<\/p>\n

<\/a>[10]<\/a> Jacqueline Bideaud, 2002, p. 56.<\/p>\n

<\/a>[11]<\/a> Cette exp\u00e9rience a \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9e par O. Koehler<\/a>.<\/p>\n

<\/a>[12]<\/a> Piaget, Probl\u00e8me de la construction du nombre<\/em>, 1960, p. 63.<\/p>\n

<\/a>[13]<\/a> Le r\u00e9sum\u00e9 que je donne ici de cet \u00e9crit se base, en plus de sa lecture attentive, sur les travaux consacr\u00e9s \u00e0 son auteur par J.-P. Belna, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege <\/em>(Paris\u00a0: Vrin, 1996), ainsi que par H.B. Sinaceur dans son introduction \u00e0 la compilation d\u2019\u00e9crits de Dedekind rassembl\u00e9s sous le titre La cr\u00e9ation du nombre<\/em> (Vrin, 2008, p. 111).<\/p>\n

<\/a>[14]<\/a> Voir Dedekind 1888, trad. fr. 2008, p. 178.<\/p>\n

<\/a>[15]<\/a> Selon que l\u2019on adopte une version platonicienne ou au contraire une version nominaliste de l\u2019existence des math\u00e9matiques, le concept de nombre ici propos\u00e9 par Russell pourra \u00eatre con\u00e7u soit comme existant de toute \u00e9ternit\u00e9 dans le monde des Id\u00e9es, soit comme le r\u00e9sultat d\u2019une d\u00e9finition purement nominale, \u00e0 partir des seuls concepts logiques eux-m\u00eames non d\u00e9riv\u00e9s d\u2019autres concepts.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Recherches sur la gen\u00e8se du nombre (1) [version PDF du cours n. 8] [Vers: Cours n. 12 \u2014\u00a0Cours n. 11 \u2014\u00a0Cours n. 10 \u2014\u00a0Cours n. 9 \u2014 Cours n. 7 \u2014 Cours n. 6 \u2014 Cours n. 5 \u2014 Cours n. 4 \u2014 Cours n. 3 \u2014 Cours n. 2 \u2014 Cours n. 1] Le… Read more <small>J. Piaget et la psychologie du d\u00e9veloppement cognitif (VIII)<\/small><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[32,33],"tags":[],"class_list":["post-1004","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-developpement-de-lintelligence","category-psychologie-genetique"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1004","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1004"}],"version-history":[{"count":71,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1004\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1613,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1004\/revisions\/1613"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1004"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1004"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cepiag.ch\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1004"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}